Olasılık nedir? Zar atarak deneysel ve kuramsal olasılığı keşfetmek

Elinizde bir zar var. Atmadan önce biri size sorsa: “6 gelecek mi?” Kimse kesin bir cevap veremez. Ama soru “6 gelme şansı ne kadar?” olursa çoğumuz hemen “altıda bir” deriz. Peki bu “altıda bir” nereden geliyor? Zarı 6 kez atınca tam bir kez mi 6 gelir? 60 kez atınca tam 10 kez mi?

Bu yazıda zarı hem kâğıt üzerinde hem de gerçekten atarak olasılığın iki yüzünü tanıyacağız: kuramsal olasılık ve deneysel olasılık. Sonunda evde ya da sınıfta deneyebileceğiniz küçük bir zar etkinliği de var.

Olasılık nedir?

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla anlatmanın yoludur. Hava tahminlerindeki yağış olasılığından bir oyunun kurallarına kadar pek çok yerde karşımıza çıkar.

• Olasılığı 0 olan olay hiç gerçekleşmez; buna imkânsız olay denir. Sıradan bir zarda 7 gelmesi gibi.
• Olasılığı 1 olan olay her zaman gerçekleşir; buna kesin olay denir. Zarın 1 ile 6 arasında bir sayı göstermesi gibi.
• Aradaki değerler “ne kadar olası?” sorusunun cevabıdır. Değer 0’a yakınsa olay seyrek, 1’e yakınsa sık görülür.

Olasılığı kesir, ondalık sayı ya da yüzde olarak yazabiliriz:

$$\frac{1}{4} = 0{,}25 = \%25$$

Olasılıktan söz etmek için birkaç kelimeye ihtiyacımız var. Zar atmak gibi sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen işlemlere deney denir. Deneyin her olası sonucu bir çıktıdır. Bütün çıktıların kümesine örnek uzay denir ve genellikle $E$ ile gösterilir. Bir zar için:

$$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$

İlgilendiğimiz çıktıların kümesi ise bir olaydır. Örneğin “çift sayı gelmesi” olayı $A = \{2, 4, 6\}$’dır. Bu kavramları ağaç şemaları ve çarpma ilkesiyle birlikte Olası durumlar dersinde adım adım bulabilirsiniz.

Kuramsal olasılık: Zarı atmadan hesaplamak

Hilesiz bir zarın altı yüzü aynı büyüklüktedir ve zar dengelidir. Bu yüzden hiçbir yüzün diğerlerinden daha kolay gelmesi için bir neden yoktur. Böyle çıktılara eş olasılıklı çıktılar denir.

Çıktılar eş olasılıklıysa bir $A$ olayının olasılığı şu formülle bulunur:

$$P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{\text{istenen çıktı sayısı}}{\text{tüm çıktıların sayısı}}$$

Burada $s(\;)$ bir kümenin eleman sayısını gösterir. Buna kuramsal (teorik) olasılık denir, çünkü tek bir atış bile yapmadan, yalnızca düşünerek ve sayarak bulunur.

Birkaç örnek:

• 6 gelmesi: $P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$
• Çift sayı gelmesi: $A = \{2, 4, 6\}$, yani $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• Asal sayı gelmesi: Asal sayılar 2, 3 ve 5’tir (1 asal değildir), yani $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
• 4’ten büyük sayı gelmesi: Çıktılar 5 ve 6’dır, yani $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Bir olayın olma ve olmama olasılıklarının toplamı her zaman 1’dir. “A olmaması” olayını $A'$ ile gösterirsek:

$$P(A) + P(A') = 1$$

Örneğin 6 gelmeme olasılığı $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$’dır. Formülü ve eş olasılıklı çıktıları daha ayrıntılı görmek isterseniz Basit olayların olasılığı dersine göz atabilirsiniz.

Küçük ama önemli bir not: Kuramsal olasılık, ideal bir zarın modelidir. Gerçek zarlar kusursuz biçimde simetrik olmayabilir. Yine de iyi üretilmiş bir zar bu modele çok yakın davranır; bu yüzden model işimizi rahatlıkla görür.

Deneysel olasılık: Zarı atarak ölçmek

Şimdi kâğıdı bırakıp zarı gerçekten atalım. Bir zarı $n$ kez attığımızı ve ilgilendiğimiz olayın $k$ kez gerçekleştiğini düşünelim. Olayın deneysel olasılığı (göreli sıklığı) şudur:

$$\text{deneysel olasılık} = \frac{k}{n} = \frac{\text{olayın gerçekleşme sayısı}}{\text{deneme sayısı}}$$

Aşağıdaki tablo, bir zarın 60 kez atıldığı bir deneyin nasıl görünebileceğini gösteriyor. Sayılar örnek veridir; konuyu anlatmak için hazırladık, gerçek bir deneyin kaydı değildir.

Bu tabloda neler görüyoruz?

• Deneysel olasılıklar, kuramsal değer olan $\frac{1}{6}$’nın çevresinde dağılıyor, ama hiçbiri tam olarak ona eşit değil.
• 60 atışta her yüz için beklenen sayı $60 \cdot \frac{1}{6} = 10$’dur. Tablodaki sayılar 7 ile 13 arasında. 60 atış gibi az sayıda denemede bu kadar dalgalanma gayet olağandır.
• Deneysel olasılıkların toplamı da 1’dir, çünkü her atış mutlaka bir yüzle sonuçlanır.

Kuramsal olasılık sabittir: Zarı kim atarsa atsın, her yüz için $\frac{1}{6}$’dır. Deneysel olasılık ise her deneyde biraz farklı çıkar. Aynı zarı sizin 60 kez atmanız bambaşka bir tablo verecektir.

Kuramsal olasılığı bilinen bir olayın $n$ denemede yaklaşık kaç kez gerçekleşeceğini de tahmin edebiliriz:

$$\text{beklenen sayı} \approx n \cdot P(A)$$

Örneğin bir zar 300 kez atılırsa çift sayının yaklaşık $300 \cdot \frac{1}{2} = 150$ kez gelmesi beklenir. Buradaki “yaklaşık” kelimesi önemli: 143 ya da 158 gelmesi de son derece olağandır.

Deneysel olasılık, kuramsal olasılığı bilmediğimiz durumlarda özellikle değerlidir. Bir raptiyeyi masaya attığınızda sivri ucunun yukarı bakma olasılığını sayarak bulamazsınız, çünkü iki sonuç eş olasılıklı değildir. Bunu öğrenmenin yolu, raptiyeyi çok kez atıp sonuçları saymaktır. Deneysel ve kuramsal olasılığı karşılaştırmaya Deney ve kuram: deneysel olasılık dersinde devam edebilirsiniz.

Deneme sayısı artınca ne olur?

60 atış az mı? Atış sayısını artırdıkça 6 gelme oranının nasıl değiştiğine bakalım. Aşağıdaki sayılar da örnek veridir; tipik bir deneyin nasıl görünebileceğini göstermek için hazırladık.

Az sayıda atışta oran $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$’den epey uzak olabilir. Atış sayısı büyüdükçe oran, $0{,}167$’nin çevresinde giderek daralan bir aralığa yerleşir. Bu gözleme büyük sayılar yasası denir. İsviçreli matematikçi Jakob Bernoulli bu fikrin matematiksel bir biçimini kanıtlamıştır; kanıt, ölümünden sonra 1713’te yayımlanan Ars Conjectandi adlı kitabında yer alır.

Tabloda ince ama çok önemli bir ayrıntı saklı. Önce son sütuna, yani orana bakın: Kuramsal değere yaklaşıyor. Şimdi gelme sayısıyla beklenen sayı arasındaki farka bakın: 6 atışta fark 1, 60 atışta 3, 600 atışta 6, 6000 atışta 12. Fark küçülmüyor; bu örnekte büyüyor bile. Bu rastlantı değil: Gelme sayısının beklenen sayıdan tipik uzaklığı, deneme sayısının kareköküyle birlikte büyür. 6000 atışta bu tipik uzaklık yaklaşık 29’dur ($\sqrt{6000 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 29$). Yine de oran 0,167’ye yaklaşıyor, çünkü 12 fazladan 6, 6000 atışın içinde çok küçük bir pay oluşturuyor.

Yani büyük sayılar yasası, zarın geçmişteki sapmaları “düzelttiğini” söylemez. Sapmalar, büyüyen deneme sayısının içinde seyrelir. Bu ayrım, aşağıda konuşacağımız kumarbaz yanılgısını anlamanın da anahtarıdır.

Bilim insanlarının tek bir denemeyle yetinmeyip ölçümlerini defalarca tekrarlamasının bir nedeni de budur. Az sayıda denemede şans sonucu kolayca etkiler; çok sayıda denemede ise gerçek eğilim ortaya çıkar. Konuyu iki zar örnekleriyle Büyük sayılar yasası dersinde daha ayrıntılı bulabilirsiniz.

İki zar: Toplamlar neden eşit olasılıklı değil?

İki zarı birlikte atıp üstteki sayıları topladığınızı düşünün. Toplam 2 ile 12 arasında olabilir; yani 11 farklı toplam var. İlk bakışta her toplamın olasılığı $\frac{1}{11}$ gibi görünür, ama öyle değildir.

Nedenini görmek için zarları iki ayrı renkte düşünelim: bir kırmızı, bir mavi. Kırmızı zar 6, mavi zar da 6 farklı sonuç verebileceği için çarpma ilkesine göre $6 \times 6 = 36$ eş olasılıklı çıktı vardır. “Kırmızı 1, mavi 6” ile “kırmızı 6, mavi 1” farklı iki çıktıdır.

Şimdi her toplamı kaç çıktının verdiğini sayalım (parantezde önce kırmızı, sonra mavi zar):

Çıktı sayılarının toplamı $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$’dır; hiçbir çıktıyı atlamadığımızı böyle kontrol edebiliriz. En olası toplam 7’dir:

$$P(\text{toplam } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$

En az olası toplamlar ise 2 ve 12’dir: Her birinin olasılığı $\frac{1}{36} \approx 0{,}028$’dir.

İki zarı çok kez atarsanız bu “dağ” biçimi deneysel sonuçlarda da ortaya çıkar: Ortadaki toplamlar sık, uçtakiler seyrek görülür. Küçük bir deneyde dağ biraz yamuk çıkabilir; atış sayısı arttıkça tablodaki biçime yaklaşır.

Kendiniz deneyin: Zar günlüğü

Malzemeler: Bir ya da iki zar, kâğıt, kalem; isterseniz hesap makinesi.

1. bölüm: Tek zar

1. Kâğıda 1’den 6’ya kadar altı sütun çizin.
2. Zarı 30 kez atın; her atışta gelen sayının sütununa bir çentik koyun.
3. Her yüz için deneysel olasılığı hesaplayın: gelme sayısı ÷ 30.
4. Sonuçlarınızı kuramsal olasılık $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ ile karşılaştırın.

2. bölüm: Sonuçları birleştirin

5. Aynı deneyi ailenizden ya da arkadaşlarınızdan birkaç kişiyle yapın (her kişi 30 atış).
6. Bütün sonuçları toplayın. Örneğin 4 kişiyle toplam 120 atış elde edersiniz.
7. Birleştirilmiş oranları hesaplayın. Tek tek kişilerin oranları mı, yoksa toplam oranlar mı $0{,}167$’ye daha yakın?

3. bölüm: İki zar

8. İki zarı 50 kez atın ve her seferinde toplamı yazın.
9. 2’den 12’ye kadar her toplamın kaç kez geldiğini bir sütun grafiğiyle gösterin.
10. Grafiğinizi yukarıdaki tabloyla karşılaştırın. En çok hangi toplam geldi? 2 ya da 12 hiç geldi mi?

Elle atmak uzun sürerse aynı deneyi Para ve zar: olasılık simülasyonunda binlerce kez tekrarlayabilir, deneysel olasılığın kurama nasıl yaklaştığını grafikte izleyebilirsiniz.

Düşünme soruları:

• 30 atışta bir yüz 9 kez, bir başkası 2 kez geldiyse bu, zarın hileli olduğunu gösterir mi? Daha emin olmak için ne yapardınız?
• 50 atışta toplam 7’nin yaklaşık kaç kez gelmesi bekleniyordu? ($50 \cdot \frac{1}{6} \approx 8$)

Eğitmenler bu etkinliği sınıfta da kullanabilir: Her öğrencinin küçük deneyi birleştirilince büyük bir deneye dönüşür ve büyük sayılar yasası tahtadaki tabloda gözle görülür hâle gelir.

Sık karıştırılan noktalar

“6 atışta bir kez 6 gelmeli”

$P(6) = \frac{1}{6}$ ifadesi, “her 6 atıştan birinde mutlaka 6 gelir” anlamına gelmez. 6 atışta hiç 6 gelmeyebilir, iki ya da üç kez gelebilir. Atışlar birbirinden bağımsız olduğu için 6 atışta hiç 6 gelmeme olasılığı

$$\left(\frac{5}{6}\right)^6 \approx 0{,}335$$

yani yaklaşık üçte birdir. Olasılık, tek tek atışları değil, çok sayıda atıştaki oranı tahmin eder.

“Deneysel sonuç kurama uymuyorsa zar hileli”

İlk bakışta öyle görünür, ama az sayıda atışta sapmalar olağandır. 60 atışta 6’nın 10 yerine 13 kez gelmesi, zar hakkında neredeyse hiçbir şey söylemez. Bir zarın gerçekten dengesiz olup olmadığını anlamak için çok daha fazla atış gerekir; istatistikçiler bu tür kararlar için ki-kare testi gibi yöntemler kullanır.

“İki sonuç varsa olasılık yarı yarıyadır”

“Ya 6 gelir ya gelmez; öyleyse olasılık $\frac{1}{2}$.” Burada iki sonuç türü var, ama bu iki tür eş olasılıklı değildir: “6 gelmez” türü beş çıktıyı (1, 2, 3, 4, 5), “6 gelir” türü ise tek bir çıktıyı içerir. Formüldeki sayım her zaman eş olasılıklı çıktılarla yapılır.

“İki zarda (1, 2) ile (2, 1) aynı şey”

Toplam 3’ü düşünün. Zarlar aynı renkte olsa bile iki ayrı nesnedir. “Birinci zar 1, ikinci zar 2” ile “birinci zar 2, ikinci zar 1” farklı çıktılardır. Bu yüzden toplam 3’ün olasılığı $\frac{1}{36}$ değil, $\frac{2}{36}$’dır. Aynı mantıkla iki para atıldığında “bir yazı bir tura” sonucu, “iki yazı” sonucundan iki kat daha sık görülür.

“Zar uzun süredir 6 göstermedi, artık sırası geldi”

Bu düşünceye kumarbaz yanılgısı denir. Zarın belleği yoktur: Her atış öncekilerden bağımsızdır ve 10 atış boyunca hiç 6 gelmemiş olsa bile 11. atışta 6 gelme olasılığı yine $\frac{1}{6}$’dır. Büyük sayılar yasası telafiyle değil, seyrelmeyle çalışır; zar “borcunu ödemez.” Bu düşüncenin neden bu kadar ikna edici geldiğini doğum günü problemi ve kumarbaz yanılgısı yazımızda ayrıntılı anlattık.

Geçmişin gerçekten önemli olduğu durumlar da vardır: Torbadan bilyeleri geri koymadan çekerseniz her çekiliş torbada kalanları değiştirir; burada olaylar bağımlıdır. Bağımsız ve bağımlı olayların farkını Kumarbaz yanılgısı dersinde keşfedebilirsiniz.

Özetle

• Olasılık, bir olayın şansını 0 (imkânsız) ile 1 (kesin) arasında bir sayıyla anlatır.
• Kuramsal olasılık, eş olasılıklı çıktılar sayılarak bulunur: $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$. Hilesiz bir zarda her yüzün olasılığı $\frac{1}{6}$’dır.
• Deneysel olasılık deneyle ölçülür: gerçekleşme sayısı ÷ deneme sayısı. Her deneyde biraz farklı çıkar.
• Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık genellikle kuramsal olasılığa yaklaşır (büyük sayılar yasası); beklenen sayıdan fark ise küçülmek zorunda değildir.
• İki zarda 36 eş olasılıklı çıktı vardır; en olası toplam 7’dir ve olasılığı $\frac{1}{6}$’dır.
• Zarın belleği yoktur: Geçmiş atışlar bir sonraki atışın olasılığını değiştirmez.

Olasılık ve veriler üzerine daha fazlası için Matematik konularına ve matematik yazılarımıza göz atabilirsiniz.