Doğum günü problemi ve kumarbaz yanılgısı: sezgimiz neden yanılır?

İnsan beyni örüntü bulmakta olağanüstü başarılıdır. Ama söz konusu rastlantı ve olasılık olduğunda aynı beyin sistematik biçimde yanılabilir. Bir sınıfta iki kişinin doğum gününün aynı olması bize “inanılmaz bir tesadüf” gibi gelir; bir yazı tura oyununda arka arkaya beş kez tura geldiğinde ise “artık yazı gelmesi lazım” diye düşünürüz. Bu yazıda olasılık sezgimizin yanıldığı iki klasik örneği, doğum günü problemini ve kumarbaz yanılgısını, adım adım hesaplayarak inceleyeceğiz. Amaç sezgiyi küçümsemek değil; onu matematikle eğiterek daha güvenilir hâle getirmek.

Doğum günü problemi: 23 kişi yeter mi?

Soru şu: Bir odada kaç kişi olmalı ki en az iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasılığı yüzde 50’yi geçsin?

Çoğu insanın ilk tahmini oldukça büyüktür; yılda 365 gün olduğu için 183 ya da en azından 100 civarında bir sayı söylenir. Doğru cevap ise yalnızca 23’tür. 23 kişilik bir grupta en az iki kişinin doğum gününün aynı olma olasılığı yaklaşık yüzde 50,7’dir.

Hesabı yapmadan önce sadeleştirici varsayımlarımızı açıkça yazalım: Artık yılın 29 Şubat’ını yok sayıyoruz, her günün doğum günü olma olasılığının eşit olduğunu kabul ediyoruz ve doğum günlerinin birbirinden bağımsız olduğunu, yani örneğin grupta ikiz bulunmadığını varsayıyoruz. Gerçek doğum tarihleri yıl içinde tam eşit dağılmaz; ama bu dengesizlik, eşleşme olasılığını azaltmaz, tam tersine biraz artırır.

Tersinden düşünmek

“En az iki kişinin aynı gün doğmuş olması” çok farklı biçimlerde gerçekleşebilir: iki kişi, üç kişi, iki ayrı çift ve benzeri. Bunları tek tek saymak zordur. Bunun yerine tersini hesaplamak çok daha kolaydır: Herkesin doğum gününün farklı olma olasılığı.

Kişileri sırayla odaya alalım:

• 1. kişi herhangi bir günde doğmuş olabilir: olasılık $\frac{365}{365}$.
• 2. kişinin 1. kişiden farklı bir günde doğmuş olması gerekir: $\frac{364}{365}$.
• 3. kişinin ilk ikisinden farklı bir günde doğmuş olması gerekir: $\frac{363}{365}$.
• ...
• $n$. kişi için: $\frac{365 - n + 1}{365}$.

Bu olasılıkları çarparak herkesin farklı günde doğmuş olma olasılığını buluruz:

En az bir eşleşme olma olasılığı da bunun tümleyenidir:

$n = 23$ için çarpım yaklaşık $0{,}493$ çıkar. Dolayısıyla eşleşme olasılığı $1 - 0{,}493 \approx 0{,}507$, yani yaklaşık yüzde 50,7’dir. Grup büyüdükçe olasılık hızla artar:

Sezgimiz nerede yanılıyor?

Sezgimiz genellikle soruyu farklı bir soruyla değiştirir: “Birinin doğum günü benimkiyle aynı olur mu?” Bu çok daha düşük bir olasılıktır. Sizinle birlikte 23 kişilik bir grupta, diğer 22 kişiden birinin sizinle aynı gün doğmuş olma olasılığı yalnızca yaklaşık yüzde 5,9’dur:

Oysa asıl soru, herhangi iki kişinin eşleşmesidir. 23 kişiden oluşturulabilecek ikili sayısına bakalım:

Tam 253 farklı ikili vardır ve her biri bir eşleşme fırsatıdır. Kişi sayısı doğrusal artarken ikili sayısı yaklaşık olarak karesiyle artar. Sezgimiz kişi sayısını düşünür, matematik ise ikili sayısını.

Bu durumu güzel bir yaklaşık formülle de ifade edebiliriz. Her ikilinin eşleşme olasılığı $\frac{1}{365}$ olduğundan:

$n = 23$ için üs $\frac{253}{365} \approx 0{,}693$ olur ve $e^{-0{,}693} \approx 0{,}5$ çıkar. Bu, 23 sayısının neden “sihirli” olduğunu zarif biçimde gösterir.

İlginç bir rastlantı olarak, birinin sizinle aynı gün doğmuş olma olasılığının yüzde 50’yi geçmesi için yanınızda yaklaşık 253 kişi gerekir. Kendi doğum gününüzü merkeze aldığınızda tablo bambaşka görünür.

Sınıfta deneyin

Öğretmenler için bu problem harika bir sınıf etkinliğidir. Önce öğrencilerden tahminlerini isteyin, sonra doğum günlerini (yalnızca gün ve ay) tahtaya yazın. 25 ile 30 kişilik bir sınıfta eşleşme çıkma ihtimali yüksektir; çıkmasa bile bu, olasılığın kesinlik olmadığını tartışmak için iyi bir fırsattır. Birkaç sınıfın sonuçları birleştirildiğinde, tablodaki oranlara yaklaşıldığı görülebilir.

Kumarbaz yanılgısı: para hafıza tutmaz

Şimdi ikinci örneğe geçelim. Hilesiz bir parayı attınız ve arka arkaya beş kez tura geldi. Altıncı atışta yazı gelme olasılığı nedir?

Pek çok kişi “artık yazı gelmesi daha olası” diye düşünür. Doğru cevap ise değişmez: yüzde 50. Paranın geçmiş atışlardan haberi yoktur; her atış bir öncekinden bağımsızdır. Bu yanlış inanca kumarbaz yanılgısı denir.

Bir dizinin özel görünmesi

Beş turanın ardı ardına gelmesi “özel” görünür. Ama belirli herhangi bir beşli dizinin gelme olasılığı aynıdır:

“TTTTT” dizisini dikkat çekici bulmamızın nedeni, onu düzenli bir örüntü olarak fark etmemizdir. “TYTTY” ise rastgele görünür, ama aynı derecede olasıdır. Beş turanın ardından altıncı atışta “TTTTTT” ile “TTTTTY” dizileri de yine eşit olasılıktadır: her biri $\frac{1}{64}$.

Büyük sayılar yasası neyi söyler, neyi söylemez?

Kumarbaz yanılgısını besleyen şeylerden biri, büyük sayılar yasasının yanlış anlaşılmasıdır. Bu yasa, atış sayısı arttıkça tura oranının yüzde 50’ye yaklaşacağını söyler. Ama bunu, geçmişteki dengesizliği “düzelterek” yapmaz; yeni atışlar eskileri seyrelterek yapar.

Bir düşünce deneyi yapalım: İlk 10 atışta 8 tura, 2 yazı gelmiş olsun. Tura oranı yüzde 80’dir. Sonraki 990 atışın tam yarısının tura geldiğini varsayalım (495 tura, 495 yazı). Toplamda $8 + 495 = 503$ tura ve $2 + 495 = 497$ yazı olur. Tura oranı:

Oran yüzde 50’ye çok yaklaştı; ama tura ile yazı arasındaki 6’lık fark hiç kapanmadı. Para hiçbir şeyi telafi etmedi; yalnızca ilk 10 atış, toplam içinde önemsiz hâle geldi.

Monte Carlo’daki ünlü akşam

Kumarbaz yanılgısı için en sık anlatılan örnek, 1913’te Monte Carlo’daki bir kumarhanede rulet masasında topun arka arkaya 26 kez siyaha düştüğü akşamdır. Anlatılana göre oyuncular, “artık kırmızı gelmesi gerekir” düşüncesiyle kırmızıya giderek daha büyük paralar yatırmış ve büyük kayıplar yaşamıştır. Bu yüzden kumarbaz yanılgısı İngilizcede “Monte Carlo yanılgısı” olarak da anılır.

Avrupa tipi bir rulette 37 bölme vardır ve bunların 18’i siyahtır. Belirli 26 dönüşün hepsinde siyah gelme olasılığı şöyledir:

Bu, yaklaşık 137 milyonda 1’dir; gerçekten çok küçük bir olasılık. Ama burada da kritik nokta değişmez: 25 siyahın ardından 26. dönüşte siyah gelme olasılığı yine $\frac{18}{37}$’dir. Uzun bir serinin olası olmaması, serinin bir sonraki adımını etkilemez.

Tersi de bir yanılgı olabilir

Bazen insanlar tam tersini düşünür: “Beş kez tura geldiyse para turaya meyillidir, yine tura gelir.” Bu, para gerçekten hilesizse yine yanlıştır. Ancak burada önemli bir incelik vardır: Paranın hilesiz olduğundan emin değilsek, çok uzun seriler paranın gerçekten hileli olabileceğine dair kanıt olarak değerlendirilebilir. Beş tura bunun için zayıf bir kanıttır; yüz atışta doksan tura ise çok güçlü bir kanıt olur. İstatistik biliminin önemli bir bölümü, tam olarak bu ayrımı yapmayı öğretir: Gözlenen sonuç şansla açıklanabilir mi, yoksa başka bir neden mi aramalıyız?

Neden böyle yanılıyoruz?

Psikologlar Amos Tversky ve Daniel Kahneman, 1970’lerdeki çalışmalarında insanların belirsizlik altında karar verirken kullandığı zihinsel kestirme yolları, yani sezgisel kuralları incelediler. Bunlardan biri temsil edicilik sezgisidir: Küçük bir örneğin de büyük bir sürecin bütün özelliklerini “temsil etmesi” gerektiğini düşünürüz. Hilesiz bir paranın uzun vadede yarı yarıya tura ve yazı vermesi gerektiğini bildiğimiz için, kısa bir dizinin de dengeli görünmesini bekleriz. Beş tura bu beklentiyi bozar ve beynimiz dengeyi “geri getirecek” bir sonuç arar.

Doğum günü probleminde ise sorun, olası eşleşmelerin sayısını sezgisel olarak tahmin edememizdir. Gündelik hayatta karşılaştığımız “inanılmaz tesadüflerin” önemli bir kısmı da benzer biçimde açıklanabilir: Bir olayın size olma ihtimali çok küçük olabilir, ama milyonlarca insanın ve sayısız olası olayın olduğu bir dünyada, bir şeylerin birilerinin başına gelmesi neredeyse kaçınılmazdır.

Sezgimizi nasıl eğitebiliriz?

• Tersini hesaplayın: “En az bir” içeren sorularda, “hiç olmaması” olasılığını bulup birden çıkarmak çoğu zaman en kolay yoldur.
• Neyin sayıldığını netleştirin: Kişileri mi, ikilileri mi, belirli bir olayı mı, herhangi bir olayı mı sayıyoruz?
• Bağımsızlığı sorgulayın: Olaylar gerçekten birbirinden bağımsız mı? Para atışı bağımsızdır; desteden kart çekmek ise (kartları geri koymadıkça) değildir.
• Klasik bir tuzağı inceleyin: 17. yüzyılda Fransız Chevalier de Méré, tek bir zarı 4 kez atınca en az bir 6 gelmesinin ve iki zarı 24 kez atınca en az bir çift 6 gelmesinin aynı olasılıkta olduğunu düşünüyordu. Tersini hesaplayınca ilki $1 - (5/6)^4 \approx 0{,}518$, ikincisi $1 - (35/36)^{24} \approx 0{,}491$ çıkar. Bu soru, Blaise Pascal ile Pierre de Fermat arasındaki ünlü yazışmalarda ele alınan problemlerden biridir ve olasılık kuramının doğuşunda önemli bir yer tutar.
• Deney yapın ve simüle edin: Yüzlerce kez para atmak ya da bir bilgisayar simülasyonu çalıştırmak, sezgiyle hesap arasındaki farkı somut olarak gösterir.

Olasılık, gündelik kararlarımızdan bilimsel araştırmalara kadar her yerde karşımıza çıkar. Daha fazla örnek için matematik yazılarımıza ve matematik konularına göz atabilirsiniz. Kuazara’daki etkileşimli olasılık derslerinde binlerce atışı saniyeler içinde simüle ederek sezginizi sınayabilir ve olasılığı ezberlemeden kavrayabilirsiniz.