Açı türleri: Dar, dik, geniş ve 180°'den büyük açıları nasıl ayırt ederiz?

Bir pizza diliminin sivri ucuna, açık duran bir dizüstü bilgisayarın ekranı ile klavyesi arasındaki açıklığa ya da bir kitabın köşesine hiç dikkatle baktınız mı? Hepsi birer açıdır, ama hepsi aynı türden değildir. Kimi sivridir, kimi tam bir köşe oluşturur, kimi de iyice açılmıştır.

Bu yazıda açı türlerini adım adım ele alacağız. Dar, dik ve geniş açıyı nasıl ayırt edeceğinizi, doğru açı ile tam açının ne olduğunu ve 180°’den büyük açıların nereden çıktığını göreceğiz. Yanınıza bir kâğıt alın; ilk ölçüm aracınız o olacak.

Önce kısa bir hatırlatma: Açı nedir?

Başlangıç noktası ortak olan iki ışının oluşturduğu şekle açı denir. Ortak noktaya açının köşesi, ışınlara da kolları denir. Köşesi $B$ olan ve kollarında $A$ ile $C$ noktaları bulunan açı $\angle ABC$ diye yazılır; köşe harfi her zaman ortadadır.

Bir açının büyüklüğü, bir kolun diğerine göre ne kadar döndüğünü anlatır. Bu dönme miktarını derece ile ölçeriz:

• Tam tur: $360^\circ$
• Yarım tur: $360^\circ \div 2 = 180^\circ$
• Çeyrek tur: $360^\circ \div 4 = 90^\circ$

Aklınızda tutmanız gereken en önemli fikir şu: Açının ölçüsü kolların uzunluğuna bağlı değildir. Kolları ister kısa çizin ister sayfanın kenarına kadar uzatın; dönme miktarı aynıysa açı da aynıdır.

Açının parçalarını ve iletkiyle ölçmeyi ayrıntılı görmek isterseniz Açı nedir ve nasıl ölçülür? dersine göz atabilirsiniz.

Açılar ölçülerine göre nasıl sınıflandırılır?

Açının türünü belirleyen tek şey ölçüsüdür. Sınıflandırmanın tamamı iki önemli “işaret direği” etrafında kurulur: $90^\circ$ (çeyrek tur) ve $180^\circ$ (yarım tur).

Tablodaki eşitsizliklere dikkat edin: Sınırlar kesindir. $89^\circ$ dar açıdır, $90^\circ$ dik açıdır, $91^\circ$ ise geniş açıdır. Arada “biraz dik” diye bir tür yoktur.

Bu sınıflandırma çok eskidir. Öklid’in yaklaşık MÖ 300’de yazılan Elemanlar adlı eserinin birinci kitabındaki tanımlarda dik açı, ondan büyük olan geniş açı ve ondan küçük olan dar açı ayrı ayrı tanımlanır.

Doğru açının kolları aynı doğru üzerinde ve zıt yönlerdedir. Bu yüzden bir doğru açı ilk bakışta düz bir çizgi gibi görünür. Tam açıda kollar yeniden üst üste gelir, ama arada tam bir tur dönülmüştür. Hiç dönme olmadan kolların üst üste durduğu duruma ise bazı kaynaklarda sıfır açı ($0^\circ$) denir.

180°’den büyük açılar için Türkçe kaynaklarda farklı adlarla karşılaşabilirsiniz. İngilizcede bu açılara reflex angle denir; bu yazıda kısaca refleks açı diyeceğiz.

Dar, dik, geniş, doğru ve tam açının anlatımı ve alıştırmaları için Açı türleri dersine de bakabilirsiniz.

Dar, dik ve geniş açıyı ayırt etmenin en kolay yolu: Kâğıt köşesi

Bir açının türünü bulmak için her zaman iletkiye ihtiyacınız yoktur. Çoğu zaman tek bir soru sizi sonuca götürür: “Bu açı dik açıdan küçük mü, büyük mü?”

Dik açının hazır bir örneği hemen elinizin altında: bir A4 kâğıdın, defterin ya da kitabın köşesi. Bu köşeyi bir dik açı ölçer gibi kullanabilirsiniz:

1. Kâğıdın köşesini incelediğiniz açının köşesine yerleştirin.
2. Kâğıdın bir kenarını açının bir koluyla çakıştırın.
3. Açının diğer koluna bakın:
   • Kol kâğıdın içinde kalıyorsa açı dar açıdır.
   • Kol kâğıdın kenarıyla tam çakışıyorsa açı dik açıdır.
   • Kol kâğıdın dışında kalıyorsa ve yarım turu geçmiyorsa açı geniş açıdır.

Gözle tahmin yaparken iki ara değer de işinize yarar:

• $45^\circ$, dik açının tam yarısıdır. Kâğıdın bir köşesini, bir kenarı komşu kenarın üzerine gelecek biçimde katladığınızda oluşan açı budur.
• $135^\circ$, bir dik açı ile yarım dik açının toplamıdır: $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Bu ara değerlerle bir açıyı kabaca yerleştirebilirsiniz. Örneğin dik açının yarısından biraz büyük görünen bir açı yaklaşık $50^\circ$ ile $60^\circ$ arasındadır ve kesinlikle dar açıdır.

Şekillerde dik açı, köşesine çizilen küçük bir kare ile gösterilir. Bu işareti gördüğünüzde açının $90^\circ$ olduğunu ölçmeden bilirsiniz.

İki doğru birbirini dik açıyla kesiyorsa bu doğrulara birbirine dik denir ve $d_1 \perp d_2$ biçiminde yazılır. Birbirine dik iki doğru, kesişme noktasında dört tane dik açı oluşturur. Bir artı işaretini düşünün: Dört kolu arasındaki dört açının hepsi $90^\circ$’dir.

180°’den büyük açılar: Bir açının “öbür tarafı”

Başlangıç noktası ortak iki ışın çizdiğinizde aslında düzlemi iki parçaya ayırmış olursunuz. Bu yüzden aynı iki kol iki açı belirler: biri “içeriden”, biri “dışarıdan”. Bu iki açının toplamı her zaman tam turdur:

$$x + y = 360^\circ$$

Örneğin kolları arasında $120^\circ$’lik bir geniş açı varsa, aynı kolların öbür tarafında $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$’lik bir açı vardır. Bu ikinci açı yarım turu geçtiği için refleks açıdır.

Gündelik bir örnek düşünelim. Bir pizzadan tek bir dilim kesildi ve dilimin ucundaki açı $45^\circ$ (örnek değer). Tabakta kalan pizzanın merkezdeki açısı ise $360^\circ - 45^\circ = 315^\circ$’dir. Kesilen dilim dar bir açı, kalan pizza ise bir refleks açı oluşturur.

Peki “açı” dediğimizde hangisini kastediyoruz? Aksi belirtilmedikçe genellikle $180^\circ$’yi geçmeyen küçük açıdan söz edilir. Refleks açı kastediliyorsa bu çoğu zaman şekilde ayrıca işaretlenir ya da soruda açıkça yazılır.

İletkiler genellikle $0^\circ$’den $180^\circ$’ye kadar ölçek taşıdığı için refleks bir açıyı doğrudan ölçemezsiniz. İki yol vardır:

• Küçük açıyı ölçün ve $360^\circ$’den çıkarın. Küçük açı $110^\circ$ ise refleks açı $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$’dir.
• Kollardan birinin uzantısını çizerek $180^\circ$’lik doğru açıyı ayırın; geri kalan parçayı ölçüp $180^\circ$’ye ekleyin.

İki yolun sonucu aynı çıkmalıdır. Birini diğeriyle kontrol etmek iyi bir alışkanlıktır.

Saat kadranında açı türleri

Saat, açı türlerini görmek için harika bir laboratuvardır. Kadranda 12 sayı vardır ve tam tur $360^\circ$ olduğuna göre ardışık iki sayı arası $360^\circ \div 12 = 30^\circ$’dir.

Tam saatlerde akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı şöyledir:

Her satırda ikinci bir açı daha olduğunu unutmayın. Saat 4:00’te küçük açı $120^\circ$ ise öbür taraftaki açı $240^\circ$’lik bir refleks açıdır.

Dakikalar işin içine girince akrebin de hareket ettiğini hesaba katmak gerekir. Yelkovan 60 dakikada tam tur attığı için dakikada $360^\circ \div 60 = 6^\circ$ döner. Akrep ise bir saatte bir sayı, yani $30^\circ$ ilerler; dakikada $30^\circ \div 60 = 0{,}5^\circ$ döner.

Örnek: Saat 3:30. İlk bakışta “Akrep 3’te, yelkovan 6’da, arada 3 aralık var, demek ki $90^\circ$” demek cazip gelir. Ama saat 3:30’da akrep, 3 ile 4’ün tam ortasındadır.

1. Yelkovan 12’den itibaren $30 \times 6^\circ = 180^\circ$ dönmüştür.
2. Akrep 12’den itibaren $3 \times 30^\circ + 30 \times 0{,}5^\circ = 90^\circ + 15^\circ = 105^\circ$ dönmüştür.
3. Aradaki açı: $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Yani saat 3:30’da akrep ile yelkovan dik açı değil, dar açı oluşturur.

Bu adımları tek bir formülde toplayabilirsiniz. Saat $H$, dakika $M$ ise:

$$\text{açı} = |30H - 5{,}5M|$$

Sonuç $180^\circ$’den büyük çıkarsa küçük açıyı bulmak için onu $360^\circ$’den çıkarın.

Örnek: Saat 10:10. $|30 \times 10 - 5{,}5 \times 10| = |300 - 55| = 245^\circ$. Bu değer $180^\circ$’den büyük, yani refleks taraftaki açıdır. Küçük açı $360^\circ - 245^\circ = 115^\circ$’dir ve bu bir geniş açıdır.

Üçgenlerde ve çokgenlerde açı türleri

Açı türleri, şekilleri adlandırmak için de kullanılır. Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$’dir ve üçgenler en büyük açılarına göre üç gruba ayrılır:

• Dar açılı üçgen: Üç açısı da dar. Örnek: $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$.
• Dik açılı üçgen: Bir açısı dik. Örnek: $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$.
• Geniş açılı üçgen: Bir açısı geniş. Örnek: $20^\circ$, $30^\circ$, $130^\circ$.

Bir üçgende neden iki geniş açı olamaz? İki geniş açının her biri $90^\circ$’den büyük olduğu için toplamları $180^\circ$’yi geçer; üçüncü açıya yer kalmaz. Aynı nedenle bir üçgende iki dik açı da bulunamaz: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ olur ve üçüncü açı $0^\circ$’ye düşer. Sonuç olarak her üçgenin en az iki dar açısı vardır.

Dik açılı üçgende diğer iki açının toplamı $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$’dir; yani bu iki açı birbirinin tümleridir. Tümler ve bütünler açılar, açı türleriyle de güzel bir ilişki kurar:

• Bir dar açının tümleri de dar açıdır: $90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
• Bir dar açının bütünleri geniş açıdır: $180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
• Bir dik açının bütünleri yine dik açıdır: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Bu ilişkileri bir bisiklet yolu örneği üzerinden görmek için Komşu, tümler ve bütünler açılar dersini inceleyebilirsiniz.

Çokgenlere gelince: Karenin ve dikdörtgenin dört açısı da diktir. Düzgün altıgenin her iç açısı $120^\circ$’dir, yani geniştir; bal peteklerindeki altıgen gözler buna yakın bir örnektir.

Bir ok ucuna ya da “V” harfine benzeyen, içe doğru göçük kısmı olan çokgenlere içbükey çokgen denir. Bu çokgenlerde en az bir iç açı $180^\circ$’den büyüktür, yani refleks açıdır. İçe göçük kısmı olmayan dışbükey çokgenlerde ise her iç açı $180^\circ$’den küçüktür.

Sık karıştırılan noktalar

Açı türlerinde karışıklık çoğu zaman tanımlardan değil, açının görünüşünden kaynaklanır. İşte en sık karşılaşılan durumlar:

“Dik açı, dik duran açıdır.” İlk bakışta öyle görünür, çünkü dik açıyı çoğunlukla bir kolu yatay, diğeri dikey çizilmiş hâlde görürüz. Oysa bir kâğıdı masada çevirdiğinizde köşesi hâlâ $90^\circ$’dir. “Dik” sözcüğü açının sayfadaki yönünü değil, iki kolun birbirine dik olduğunu anlatır.

“Kolları uzun çizilmiş açı daha büyüktür.” Açının ölçüsü dönme miktarıdır, kol uzunluğu değil. Kısa kollu bir $120^\circ$ geniş açıdır; kolları kilometrelerce uzatılmış bir $30^\circ$ ise dar açı olarak kalır.

“Geniş açı, $90^\circ$’den büyük her açıdır.” Geniş açı, $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasındadır. $200^\circ$’lik bir açı da $90^\circ$’den büyüktür, ama yarım turu geçtiği için geniş değil refleks açıdır. Aynı şekilde $180^\circ$ de geniş açı değil, doğru açıdır.

“$88^\circ$ ile $90^\circ$ gözle ayırt edilir.” Sınıra çok yakın açılarda gözle karar vermek zordur. Bu yüzden şekillerde dik açı küçük bir kareyle işaretlenir. Kare işareti yoksa ve açı $90^\circ$’ye çok yakın görünüyorsa, “dik” demeden önce verilen bilgilere bakmak en güvenli yoldur. Bazı kitaplarda şekillerin ölçekli çizilmediği de özellikle belirtilir.

“İletkide gördüğüm ilk sayı açının ölçüsüdür.” İletkide iki ölçek vardır; biri soldan sağa, diğeri sağdan sola artar. Örneğin bir kol $70$ ile $110$ yazan çizgiden geçiyorsa hangisini okuyacağınızı, açının $0$’dan başladığı ölçek belirler. Okumadan önce “Bu açı dar mı, geniş mi görünüyor?” diye sormak iki ölçeği karıştırmayı önler.

“Bir açının yalnızca bir ölçüsü vardır.” Aynı iki kol iki açı belirler ve toplamları $360^\circ$’dir. Soruda hangi tarafın kastedildiğine dikkat edin; işaretlenmemişse genellikle küçük açı kastedilir.

Kendiniz deneyin: Evde açı avı

Bu küçük etkinlik için bir yaprak kâğıt, bir kalem ve varsa bir iletki yeterli.

1. Kendi dik açı ölçerinizi yapın. Kenarları düzgün olmasa bile herhangi bir kâğıt parçasını bir kez katlayın ve katı iyice bastırın. Sonra kâğıdı, ilk katlama çizgisi kendi üzerine gelecek şekilde bir kez daha katlayın. İki katın buluştuğu köşe tam $90^\circ$’dir. Bu köşeyi bir kez daha ortadan katlarsanız $45^\circ$’lik bir açı elde edersiniz.

2. Avlanın. Evinizde ya da sınıfınızda aşağıdakileri bulun ve not edin:

• İki dar açı (ipucu: bir makasın yarı açık bıçakları, bir pizza diliminin ucu)
• İki dik açı (ipucu: bir fayansın köşesi, bir pencere çerçevesi)
• İki geniş açı (ipucu: arkaya yatırılmış bir sandalye arkalığı, iyice açılmış bir dizüstü bilgisayar)
• Bir refleks açı (ipucu: bir duvarın dış köşesine dışarıdan bakın; iki duvarın arasında, havadan geçerek ölçülen açı $270^\circ$’dir)

Her açıyı önce kâğıt ölçerinizle sınıflandırın, iletkiniz varsa sonra ölçerek kontrol edin. İletkiniz yoksa Lab’deki Açı ölçer figüründe açıyı sürükleyerek ya da derecesini yazarak türünün nasıl değiştiğini izleyebilirsiniz.

3. Kısa sorular.

1. $91^\circ$’lik açı hangi türdendir?
2. Saat 8:00’de akrep ile yelkovan arasındaki küçük açı kaç derecedir ve hangi türdendir?
3. Küçük açısı $160^\circ$ olan iki kolun öbür tarafındaki açı kaç derecedir?
4. Bir üçgenin iki açısı $25^\circ$ ve $65^\circ$ ise bu üçgen hangi türdendir?

Cevaplar: 1) Geniş açı, çünkü $90^\circ < 91^\circ < 180^\circ$. 2) 8 ile 12 arasında 4 aralık var: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$, geniş açı. 3) $360^\circ - 160^\circ = 200^\circ$, refleks açı. 4) Üçüncü açı $180^\circ - 25^\circ - 65^\circ = 90^\circ$ olduğu için dik açılı üçgendir.

Özetle

• Açının türünü yalnız ölçüsü belirler; yönü ya da kollarının uzunluğu belirlemez.
• Dar açı $90^\circ$’den küçük, dik açı tam $90^\circ$, geniş açı $90^\circ$ ile $180^\circ$ arasındadır.
• Doğru açı $180^\circ$, tam açı $360^\circ$’dir; $180^\circ$ ile $360^\circ$ arasındaki açılar refleks açıdır.
• Aynı iki kol iki açı belirler ve bu açıların toplamı $360^\circ$’dir.
• Bir kâğıdın köşesi, dar, dik ve geniş açıyı ayırt etmek için pratik bir dik açı ölçerdir.
• Her üçgenin en az iki dar açısı vardır; bir üçgende en fazla bir dik ya da bir geniş açı bulunabilir.

Konuyu derslerle pekiştirmek için sırasıyla Açı nedir ve nasıl ölçülür?, Açı türleri ve Komşu, tümler ve bütünler açılar derslerini izleyebilirsiniz. Geometri ve daha fazlası için Matematik konularına ve matematik yazılarımıza göz atın.