Ortalama, ortanca, tepe değer: hangisi neyi anlatır, hangisi ne zaman kullanılır?

Okulun basketbol takımı bir maçta 6 oyuncuyla 60 sayı attı. Ertesi gün okul bülteninde şu cümle yer aldı: “Oyuncularımız bu maçta ortalama 10 sayı attı.” Skor tablosuna baktığınızda ise bambaşka bir tablo görüyorsunuz: Bir oyuncu tek başına 40 sayı atmış, diğer beşi 2 ile 6 arasında kalmış.

Peki “ortalama 10” bu takımı gerçekten anlatıyor mu? Matematik açısından cümle kusursuz: $60 \div 6 = 10$. Ama altı oyuncudan beşi 10’un altında sayı atmış. Demek ki bir veriyi tek bir sayıyla özetlemek, hangi sayıyı seçtiğinize göre çok farklı izlenimler bırakabilir.

Bu yazıda veriyi özetlemenin üç temel yolunu, yani aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri ele alacağız. Her birinin neyi ölçtüğünü, nerede güçlü olduğunu ve hangi durumda sizi yanıltabileceğini örneklerle göreceğiz. Yazının sonunda, elinizdeki veriye bakıp “Burada hangisini kullanmalıyım?” sorusunu rahatça cevaplayabileceksiniz.

Üç soru, üç cevap: merkez ölçüleri nedir?

Elinizde çok sayıda veri olduğunu düşünün: bir sınıfın sınav puanları, bir haftanın günlük sıcaklıkları ya da bir mahalledeki hanelerde yaşayan kişi sayıları. Hepsini tek tek okumak yorucudur. Bu yüzden veriyi, “tipik değerini” gösteren tek bir sayıyla özetlemek isteriz.

İstatistikte bu sayılara merkezî eğilim ölçüleri ya da kısaca merkez ölçüleri denir. “Bu veri tipik olarak ne kadar?” sorusuna üç farklı yoldan cevap verebilirsiniz:

• Paylaştırarak: Bütün değerleri bir torbada toplayıp herkese eşit dağıtırsanız, herkesin payı aritmetik ortalamadır.
• Sıraya dizerek: Değerleri küçükten büyüğe dizip tam ortadakine bakarsanız, bu ortancadır (medyan).
• En kalabalığa bakarak: En çok tekrar eden değeri seçerseniz, bu tepe değerdir (mod).

Üçü de verinin “merkezi” hakkında bilgi verir, ama her biri merkezi farklı bir açıdan tanımlar. Bu yüzden aynı veri için üç farklı sonuç bulmanız son derece normaldir. Önemli olan, her sonucun size neyi anlattığını bilmektir.

Aritmetik ortalama: paylaştırma ve denge noktası

$n$ tane verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$$

Burada $\bar{x}$ (“iks bar” diye okunur) ortalamayı gösterir.

Örnek: Ayşe bir hafta boyunca her gün kaç dakika kitap okuduğunu not etti: 20, 35, 30, 20, 45, 20, 40.

$$\bar{x} = \frac{20 + 35 + 30 + 20 + 45 + 20 + 40}{7} = \frac{210}{7} = 30 \text{ dakika}$$

Yani Ayşe’nin toplam okuma süresi yedi güne eşit dağıtılsaydı, her güne 30 dakika düşerdi.

Ortalama bir denge noktasıdır

Ortalamanın çok güzel bir özelliği daha var. Her değerin ortalamadan farkını bulursanız, bu farkların toplamı her zaman sıfır olur. Ayşe’nin verisinde her değerden 30 çıkaralım:

$$(-10) + 5 + 0 + (-10) + 15 + (-10) + 10 = 0$$

Bu yüzden ortalamayı bir tahterevallinin denge noktası gibi düşünebilirsiniz. Sayı doğrusu uzun bir tahta, her veri de tahtanın üzerine konmuş eşit ağırlıkta bir bilye olsun. Tahtayı tam ortalamanın bulunduğu yerden desteklerseniz tahta dengede kalır.

Bu benzetme, ortalamanın uç değerlere neden bu kadar duyarlı olduğunu da açıklar. Tahtanın bir ucuna, merkezden çok uzağa tek bir bilye koyarsanız, dengeyi korumak için destek noktasını o tarafa doğru epey kaydırmanız gerekir.

Ortalama, toplamla bağlantılıdır

Ortalamanın en pratik yanı, toplamla doğrudan ilişkili olmasıdır:

$$\text{toplam} = \text{ortalama} \times \text{veri sayısı}$$

Diyelim ki 40 kişilik bir kamp planlıyorsunuz ve kişi başına günlük su ihtiyacının ortalama 2 litre olduğunu biliyorsunuz. Günde toplam $40 \times 2 = 80$ litre su gerektiğini hemen bulursunuz.

Ortanca ya da tepe değer size böyle bir toplam vermez. “Toplam ne kadar?” sorusu önemliyse ortalama vazgeçilmezdir.

Ortanca: sıralı listenin ortası

Ortanca, veriler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortada kalan değerdir. Kabaca söylersek, verinin yarısı ortancanın altında, yarısı da üstünde kalır.

Ortancayı bulmak için iki adım yeterlidir:

1. Verileri küçükten büyüğe sıralayın.
2. Veri sayısı tek ise ortadaki değeri alın; veri sayısı çift ise ortadaki iki değerin ortalamasını alın.

Veri sayısı $n$ tek olduğunda ortanca, sıralı listede $\frac{n+1}{2}$. sıradaki değerdir. Örneğin 7 veride 4. değer, 11 veride 6. değer ortancadır.

Örnek (tek sayıda veri): Ayşe’nin verisini sıralayalım: 20, 20, 20, 30, 35, 40, 45. Yedi değer var; ortadaki 4. değer 30’dur. Ortanca 30 dakikadır.

Örnek (çift sayıda veri): Basketbol takımındaki oyuncuların attığı sayılar 4, 6, 5, 3, 2, 40 idi. Sıralayınca 2, 3, 4, 5, 6, 40 elde ederiz. Altı değer var; ortadaki iki değer 4 ve 5’tir:

$$\text{ortanca} = \frac{4 + 5}{2} = 4{,}5$$

Ortalama 10 iken ortanca 4,5 çıktı. Hangisinin bu takımı daha iyi anlattığını birazdan tartışacağız.

Ortancanın gücü: dayanıklılık

Ortancanın en önemli özelliği uç değerlere karşı dayanıklı olmasıdır. 40 sayı atan oyuncu, hayali bir maçta 400 sayı atsaydı ne olurdu?

• Ortalama $\frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 400}{6} = \frac{420}{6} = 70$ olurdu.
• Ortanca ise hâlâ 4,5 olurdu.

Çünkü ortanca yalnızca sıralamanın ortasına bakar; uçtaki değerin ne kadar büyük olduğuyla ilgilenmez.

Tepe değer: en kalabalık değer

Tepe değer, veride en çok tekrar eden değerdir. Ayşe’nin verisinde 20 üç kez geçiyor, başka hiçbir değer iki kez bile geçmiyor. Bu yüzden tepe değer 20 dakikadır.

Tepe değerle ilgili üç durumu bilmek işinizi kolaylaştırır:

• Tek tepe değer: 3, 5, 5, 7, 8 verisinde tepe değer 5’tir.
• Birden fazla tepe değer: 2, 2, 4, 6, 6, 9 verisinde hem 2 hem 6 ikişer kez geçer; iki tepe değer vardır. Böyle verilere iki tepeli veri denir.
• Tepe değer yok: Basketbol verisinde (2, 3, 4, 5, 6, 40) hiçbir değer tekrar etmez. Bu durumda genellikle “tepe değer yoktur” denir.

Sayı olmayan verilerin ölçüsü

Tepe değerin diğer ikisinden ayrılan özel bir gücü var: Sayı olmayan verilerde de kullanılabilir.

Bir sınıfa en sevdikleri rengi sorduğunuzu düşünün. Cevaplar şöyle olsun: mavi, yeşil, mavi, kırmızı, mor, mavi, yeşil. Renklerin ortalamasını alamazsınız, onları anlamlı biçimde sıraya da koyamazsınız. Ama “En çok seçilen renk mavi” diyebilirsiniz. İşte bu bir tepe değerdir.

Tepe değer, “En sık ne oluyor?” sorusu önemli olduğunda da işe yarar. Bir spor kulübü yeni sezon için forma siparişi verecekse, bedenlerin ortalamasından çok en sık istenen bedeni bilmek ister. Sonuçta “ortalama beden” diye bir forma yoktur.

Aykırı değerler ve çarpık veriler

Verinin genelinden çok uzakta kalan, diğerlerinden çok büyük ya da çok küçük değerlere aykırı değer denir. Basketbol takımındaki 40, tipik bir aykırı değerdir.

Aykırı değerlerin üç ölçü üzerindeki etkisi farklıdır:

• Ortalama aykırı değere doğru çekilir.
• Ortanca çok az etkilenir ya da hiç etkilenmez.
• Tepe değer çoğunlukla etkilenmez, çünkü aykırı değerler genellikle tekrar etmez.

Bir kazanç örneği

Bunu daha gerçekçi bir durumla görelim. Aşağıdaki sayılar, küçük bir şirkette çalışan 10 kişinin aylık kazancını bin TL cinsinden gösteriyor. Bunlar gerçek veriler değildir; yalnızca konuyu anlatmak için seçilmiş örnek verilerdir:

25, 26, 27, 28, 28, 30, 31, 32, 35, 200

• Ortalama: $\frac{462}{10} = 46{,}2$ bin TL
• Ortanca: 5. ve 6. değerler 28 ile 30; ortanca $\frac{28 + 30}{2} = 29$ bin TL
• Tepe değer: 28 bin TL (iki kez geçiyor)

Şirket “Çalışanlarımızın ortalama kazancı 46,2 bin TL” derse, cümle matematik açısından kusursuzdur. Ama on kişiden yalnızca biri bu ortalamanın üzerinde kazanıyor! Diğer dokuz kişinin kazancı 25 ile 35 bin TL arasında.

“Tipik bir çalışan ne kazanıyor?” sorusunun cevabını ortanca (29 bin TL) çok daha iyi verir. Gelir istatistiklerinde ortancaya da sıkça yer verilmesinin bir nedeni budur. Örneğin Avrupa Birliği’nin istatistik ofisi Eurostat, yoksulluk riski eşiğini ülkedeki eşdeğer harcanabilir gelirin ortancasının %60’ı olarak tanımlar.

Çarpık dağılımlar

Değerlerin çoğu bir bölgede toplanıp bir kısmı tek bir yöne doğru uzun bir “kuyruk” oluşturuyorsa, bu veriye çarpık veri denir. Kazanç örneğinde kuyruk büyük değerlere doğru uzanıyor; buna sağa çarpık veri denir.

Sağa çarpık verilerde çoğu zaman şu sıralama görülür:

$$\text{tepe değer} < \text{ortanca} < \text{ortalama}$$

Kazanç örneğimizde de tam olarak böyle: $28 < 29 < 46{,}2$. Sola çarpık verilerde, yani kuyruk küçük değerlere doğru uzanıyorsa, sıralama çoğu zaman tersine döner. Simetrik verilerde, örneğin çan biçimli bir dağılımda, üç ölçü birbirine çok yakın çıkar.

Buradaki “çoğu zaman” ifadesi önemlidir. Bu sıralama bir eğilimdir, kesin bir kural değildir; bazı çarpık verilerde ölçüler bu sırayı izlemeyebilir. Yine de ortalama ile ortanca arasında büyük bir fark görüyorsanız, verinizde bir kuyruk ya da aykırı değer olabileceğini düşünmek için iyi bir işarettir.

Hangisini ne zaman kullanmalı?

“Hangi ölçü en iyisi?” sorusunun tek bir cevabı yoktur. Cevap, verinin türüne ve sizin ne öğrenmek istediğinize bağlıdır. Aşağıdaki tablo kısa bir yol haritası sunuyor:

Birkaç örnekle bu tabloyu canlandıralım:

• Bir sınıfın sınav puanları, öğrencilerin çoğu birbirine yakın puanlar almışsa ortalamayla iyi özetlenir. Ama birkaç çok düşük puan grubu aşağı çekiyorsa ortancaya da bakmak faydalıdır.
• Bir bölgedeki hane gelirleri genellikle sağa çarpıktır; ortanca daha iyi bir “tipik değer” verir.
• Bir okul kantininde en çok tercih edilen sandviç kategorik bir veridir; burada yalnızca tepe değer anlamlıdır.
• Bir kampın toplam su ihtiyacını hesaplamak için kişi başı ortalama tüketimi kişi sayısıyla çarparsınız. Toplam gerektiğinde ortalama devreye girer.

En sağlıklı yaklaşım çoğu zaman birden fazla ölçüye birlikte bakmaktır. Ortalama ile ortanca birbirine yakınsa veri büyük olasılıkla dengeli dağılmıştır. Aralarında belirgin bir fark varsa, bu fark verinin size anlatmak istediği bir hikâyenin ipucudur.

Merkez her şeyi anlatmaz

Merkez ölçüleri verinin nerede toplandığını söyler, ama ne kadar dağınık olduğunu söylemez. 50, 50, 50 verisinin de 0, 50, 100 verisinin de ortalaması ve ortancası 50’dir. Oysa ilki tamamen tekdüze, ikincisi ise oldukça dağınıktır.

Bu farkı görmek için açıklık (en büyük değer eksi en küçük değer) gibi yayılım ölçülerine de bakmak gerekir. İlk veride açıklık 0, ikincide 100’dür.

Sık karıştırılan noktalar

Merkez ölçüleri basit görünür, ama bazı noktalar ilk bakışta göründüğünden farklıdır. Aşağıdakiler en sık karıştırılanlardır.

1. Ortancayı sıralamadan bulmak

9, 2, 7, 4, 5 verisinde, yazılış sırasına göre ortada 7 duruyor. İlk bakışta ortanca 7 gibi görünür, ama önce sıralamak gerekir: 2, 4, 5, 7, 9. Ortanca 5’tir. Ortanca “listenin ortası” değil, “sıralı listenin ortası”dır.

2. Ortalamanın veride bulunması gerektiğini düşünmek

Bir grup ailenin çocuk sayılarının ortalaması 2,5 olabilir, ama hiçbir ailede yarım çocuk yoktur. Ortalama bir paylaştırma sonucudur; veride gerçekten bulunan bir değer olmak zorunda değildir.

Benzer biçimde, veri sayısı çift olduğunda ortanca da veride bulunmayan bir değer olabilir (basketbol örneğindeki 4,5 gibi). Tepe değer ise, varsa, her zaman veride bulunan bir değerdir.

3. Tepe değeri en büyük değerle karıştırmak

“Tepe” kelimesi akla “en yüksek”i getirebilir. Ama tepe değer en büyük değer değil, en sık görülen değerdir. 3, 3, 3, 8, 10 verisinde en büyük değer 10, tepe değer ise 3’tür.

Bunu hatırlamanın kolay bir yolu var: Değerlerin kaç kez geçtiğini gösteren bir sütun grafiği çizerseniz, en yüksek sütun, yani grafiğin “tepesi”, tepe değerin üzerinde durur.

4. Ortalamaların ortalamasını almak

İki sınıf düşünün. A sınıfında 20 öğrenci var ve puan ortalaması 70; B sınıfında 30 öğrenci var ve puan ortalaması 80. İki sınıfın birlikte ortalaması kaçtır?

İlk bakışta $(70 + 80) \div 2 = 75$ gibi görünür. Ama sınıfların büyüklükleri farklı olduğu için toplama dönmek gerekir:

$$\frac{20 \times 70 + 30 \times 80}{20 + 30} = \frac{1400 + 2400}{50} = \frac{3800}{50} = 76$$

Birleşik ortalama 76’dır; daha kalabalık olan B sınıfı sonucu kendine doğru çeker. Bu hesaba ağırlıklı ortalama denir. Ortalamaların düz ortalaması, yalnızca grupların büyüklükleri eşitse birleşik ortalamayı verir.

5. “Herkes ortalamanın üstünde olabilir” sanmak

Bir veride bütün değerler ortalamanın üstünde olamaz, çünkü ortalamadan farkların toplamı sıfırdır. Ortalamanın üstünde kalan değerler varsa, altında kalanlar da olmak zorundadır. Bütün değerler eşitse herkes tam ortalamadadır.

Öte yandan değerlerin çoğunluğunun ortalamanın üstünde olması mümkündür: 1, 10, 10, 10 verisinin ortalaması $31 \div 4 = 7{,}75$’tir ve dört değerden üçü bunun üstündedir.

6. Veri türünü gözden kaçırmak

Ortalama ve ortanca yalnızca uygun veri türlerinde anlamlıdır. Renk, şehir ya da en sevilen meyve gibi kategorik verilerde ne ortalama ne de ortanca hesaplanabilir; burada tepe değer kullanılır.

“Hiç, az, orta, çok” gibi sıralanabilen cevaplarda ise ortanca anlamlı olabilir. Ama bu cevaplara 1, 2, 3, 4 gibi sayılar verip ortalamasını almak tartışmalıdır, çünkü basamaklar arasındaki “mesafelerin” eşit olduğu varsayılmış olur.

Kendiniz deneyin: Kitap kulübü verisi

Kendi verinizi toplayarak da başlayabilirsiniz, ama önce elinizde hazır bir örnek olsun.

Örnek veri: 9 kişilik bir kitap kulübünde üyelerin geçen ay okudukları kitap sayıları aşağıda verilmiştir. Bu, alıştırma için seçilmiş bir örnek veridir:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 13

Sorular:

1. Aritmetik ortalamayı, ortancayı ve tepe değeri bulun.
2. Hangi ölçü bu kulübün “tipik bir üyesini” en iyi anlatıyor? Neden?
3. 13 kitap okuyan üye kulüpten ayrılırsa üç ölçü nasıl değişir?

Kaleminizi alın ve cevaplara bakmadan önce kendiniz deneyin.

Cevaplar:

1. Toplam $0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 13 = 27$; ortalama $27 \div 9 = 3$. Veri zaten sıralı ve 9 değer var; ortadaki 5. değer 2, yani ortanca 2. En çok tekrar eden değer 1 (üç kez), yani tepe değer 1. Üç ölçü üç farklı sonuç verdi!
2. Dokuz üyeden altısı 3’ten az kitap okumuş, yalnızca ikisi 3’ten fazla okumuş. 13 bir aykırı değerdir ve ortalamayı yukarı çekmiştir. “Tipik bir üye” için ortanca (2) daha iyi bir özettir. “En sık görülen durum” sorulursa tepe değer (1) de anlamlı bir cevaptır.
3. Kalan veri: 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4. Toplam 14, veri sayısı 8; ortalama $14 \div 8 = 1{,}75$. Veri sayısı çift; ortadaki iki değer (4. ve 5. sıradakiler) 1 ve 2, yani ortanca $(1 + 2) \div 2 = 1{,}5$. Tepe değer yine 1. Ortalama 3’ten 1,75’e düştü; ortanca ise yalnızca 2’den 1,5’e indi.

Kendi verinizle deneyin: Bir kitabın rastgele bir sayfasından ilk 15 kelimeyi seçin ve her kelimenin harf sayısını yazın. Üç ölçüyü hesaplayın. Sonra listeye hayalî, 30 harflik bir kelime ekleyin ve hangi ölçünün en çok değiştiğini gözlemleyin. Tahmininizi hesaplamadan önce yazmayı unutmayın!

Bu ölçüleri adım adım alıştırmalarla pekiştirmek isterseniz Veri okuma: ortalama, ortanca ve tepe değer dersimize göz atabilirsiniz.

Özetle

• Aritmetik ortalama toplamın veri sayısına bölümüdür. Bütün değerleri hesaba katar ve toplamla doğrudan bağlantılıdır, ama aykırı değerlere duyarlıdır.
• Ortanca sıralı verinin ortasındaki değerdir; veri sayısı çiftse ortadaki iki değerin ortalaması alınır. Aykırı değerlere karşı dayanıklıdır.
• Tepe değer en sık tekrar eden değerdir; birden fazla olabilir ya da hiç olmayabilir. Renk, şehir gibi sıralanamayan kategorik verilerde kullanılabilen tek merkez ölçüsüdür.
• Sağa çarpık verilerde ortalama çoğu zaman ortancanın üzerinde çıkar.
• Farklı büyüklükteki grupların ortalamalarını birleştirirken ağırlıklı ortalama kullanın.
• Tek bir ölçü yerine birkaçına, hatta yayılıma da birlikte bakmak, verinin hikâyesini çok daha iyi anlatır.

Veri ve istatistikle ilgili diğer içerikler için Matematik konularına ve matematik yazılarımıza göz atabilirsiniz.