Doğru ve ters orantı: Tarif, harita ölçeği ve hızla anlamak

Annen dört kişilik bir tarifi altı kişiye göre hazırlayacak. Haritada iki şehir arası dört santimetre; gerçekte kaç kilometre? Yolu iki kat hızlı gidersen ne kadar erken varırsın? Bu üç soru farklı görünür ama aynı iki fikre dayanır: doğru orantı ve ters orantı. Bu yazıda ikisini günlük örneklerle anlatıyor, hangisinin ne zaman kullanılacağını ve en sık yapılan hataları gösteriyoruz.

Doğru orantı: birlikte büyür, birlikte küçülür

İki nicelikten biri belli bir kat artarken ötekisi de aynı kat artıyorsa, bu iki nicelik doğru orantılıdır. Matematikle: Oranları sabittir.

Tarif örneği. Dört kişilik bir tarifte 200 g un kullanılıyor. Altı kişilik için kaç gram un gerekir? Kişi sayısı $6/4 = 1{,}5$ kat arttı; un da 1,5 kat artmalı: $200 \cdot 1{,}5 = 300$ g. Bu tarif ölçeklemesi, doğru orantının en tanıdık hâlidir.

Sık yapılan hata, “4’ten 6’ya 2 kişi arttı, her malzemeye 2 ekleyeyim” demektir. Yani toplama ile ölçeklemek. Doğru orantıda değişim çarpma iledir: Her malzeme aynı kat artar. Tarifi ölçeklemek dersinde bunu uygulamalı görebilirsin.

Harita ölçeği de doğru orantıdır

Haritadaki ölçek, haritadaki uzunluğun gerçekteki uzunluğa sabit oranını verir. Ölçek $1:2\,500\,000$ ise haritadaki 1 cm, gerçekte 2 500 000 cm demektir. Dört santimetrelik mesafe için:

Haritadaki uzunluk iki katına çıkarsa gerçek mesafe de iki katına çıkar: doğru orantı. Eski haritalara ve harita çizimine meraklıysan Piri Reis haritası yazımıza göz atabilirsin.

Ters orantı: biri artınca öteki aynı katla küçülür

İki nicelikten biri belli bir kat artarken ötekisi aynı kat azalıyorsa, bu nicelikler ters orantılıdır. Bu kez sabit olan çarpımdır:

Hız ve süre. Aynı 120 km’lik yolu giderken hız 60 km/saat ise süre 2 saattir. Hızı iki katına, 120 km/saat’e çıkarırsan süre yarıya, 1 saate iner. Çarpım ($\text{hız} \cdot \text{süre}$) yol olduğu için sabittir: $60 \cdot 2 = 120 \cdot 1 = 120$. Yani yol sabitse hız ile süre ters orantılıdır. Yol, hız ve zaman ilişkisini Sürat, yol ve zaman dersinde ayrıntılı bulabilirsin.

İş gücü. 6 işçi bir işi 12 günde bitiriyorsa (herkes aynı hızda çalışır varsayımıyla), toplam iş $6 \cdot 12 = 72$ “işçi-gün”dür. 9 işçi aynı işi $72 / 9 = 8$ günde bitirir. İşçi 1,5 kat arttı, süre aynı katla azaldı.

Ters orantı dersinde bu ilişkiyi simülasyonla deneyebilirsin; doğru orantıyı da Doğru orantı dersinde.

Hangisi olduğunu nasıl anlarsın?

Kendine tek bir soru sor: “Biri iki katına çıkarsa öteki ne olur?”

• Öteki de iki katına çıkıyorsa: doğru orantı.
• Öteki yarıya iniyorsa: ters orantı.
• Ne ikiye katlanıyor ne yarıya iniyorsa: Orantı yoktur.

Kısa bir kontrol listesi:

1. İki nicelik arasındaki sabit olan şey oran mı (y/x), çarpım mı (x·y)?
2. Başlangıçta (0’da) ikisi birlikte sıfır oluyor mu? Doğru orantıda $x = 0$ iken $y = 0$’dır.
3. Değerleri bir tabloya yaz ve oranlara ya da çarpımlara bak.

Sık yapılan hatalar

• “Biri artarken öteki azalıyor, o hâlde ters orantılı.” Her azalan ilişki ters orantı değildir. Örneğin bir kitaptan her gün 20 sayfa okuduğunda geriye kalan sayfa azalır, ama kalan sayfa ile gün sayısının çarpımı sabit değildir. Ters orantıda aynı kat kuralı gerekir.
• Toplamayla ölçeklemek. Tarifte her malzemeye aynı miktarı eklemek. Doğrusu çarpmadır.
• Birim karıştırmak. Harita ölçeğinde cm’yi km’ye çevirmeyi atlamak. 100 000 cm = 1 km olduğunu hatırla.
• Orantı olmayan yerde orantı kurmak. Yüzdeler ve indirimler de oranlarla ilgilidir ama dikkat gerekir; indirim tuzakları yazımız bu konuda faydalıdır. Oran sezgisini kesirlerle ilişkilendirmek için Kesirleri anlamak yazısına bak.

Orantısal düşünme, matematik eğitimi araştırmalarında ortaokul matematiğinin önemli bir köprüsü sayılır; çünkü kesirleri, oranları ve sonraki cebir konularını birbirine bağlar. Bu yüzden önce çarpımsal ilişkiyi görmek, formülü ezberlemekten önemlidir.

Özet

• Doğru orantı: $y/x$ sabit; biri kaç kat artarsa öteki de o kat artar (tarif, harita ölçeği).
• Ters orantı: $x \cdot y$ sabit; biri kaç kat artarsa öteki o kat azalır (hız–süre, işçi–gün).
• Ayırt etmek için “biri iki katına çıkarsa öteki ne olur?” diye sor.
• Ölçeklemede toplama değil çarpma kullan; birimleri kontrol et.
• Her azalma ters orantı değildir; çarpımın sabit kalması gerekir.