Pi sayısı nedir? Neden sonsuza kadar devam eder?

Bir çay bardağının ağzını, bir bisiklet tekerleğini ya da Kapadokya’da gökyüzüne yükselen bir balonun tabanını düşünün. Hepsi farklı büyüklükte daireler. Ama aralarında gizli bir ortaklık var: Hangisinin çevresini ölçüp çapına bölerseniz bölün, hep aynı sayıya, yaklaşık 3,14’e ulaşırsınız. Matematikçiler bu sayıya Yunan harfiyle $\pi$ (pi) der. Peki pi sayısı tam olarak nedir, neden virgülden sonraki basamakları hiç bitmez ve neden bu kadar önemlidir?

Pi sayısı nedir?

Pi, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır:

Bu oranın şaşırtıcı yanı, çemberin büyüklüğünden bağımsız olmasıdır. Bir yüzüğün çevresi de, Dünya’nın ekvatoru da (Dünya’yı tam bir küre kabul edersek) çapının yaklaşık 3,14 katıdır. Bunun nedeni tüm çemberlerin birbirinin büyütülmüş ya da küçültülmüş kopyası olmasıdır. Benzer şekillerde uzunluklar aynı oranda büyüdüğü için oran sabit kalır.

Pi’nin ilk basamakları şöyledir:

Okulda çoğu hesapta $\pi \approx 3$ ya da $\pi \approx 3{,}14$ alınır. Bu bir yaklaşık değerdir; pi’nin kendisi değildir.

Çember ve daire formülleri

Pi’nin tanımından doğrudan çember formülü çıkar. Çap $d$, yarıçap $r$ ise $d = 2r$ olduğundan:

Dairenin alanı ise şöyledir:

Alan formülü neden böyle? Güzel bir sezgisel açıklama var: Bir pizzayı çok sayıda ince dilime kesin. Dilimleri, sivri uçları bir yukarı bir aşağı gelecek şekilde yan yana dizin. Dilim sayısı arttıkça ortaya çıkan şekil bir dikdörtgene benzer. Bu dikdörtgenin yüksekliği yarıçap ($r$), uzunluğu ise çevrenin yarısıdır ($\pi r$). Dikdörtgenin alanı da $r \cdot \pi r = \pi r^2$ olur.

Örnek: Yarıçapı 10 cm olan bir tepsinin çevresi ve alanı nedir? ($\pi \approx 3{,}14$ alalım.)

• Çevre: $2 \cdot 3{,}14 \cdot 10 = 62{,}8$ cm
• Alan: $3{,}14 \cdot 10^2 = 314$ cm²

Arşimet pi’yi nasıl hesapladı?

Pi’yi hesaplamanın ilk sistemli yöntemini yaklaşık 2200 yıl önce Sicilyalı matematikçi Arşimet buldu. Fikri çok zarifti: Çemberin içine ve dışına düzgün çokgenler çizdi. İçteki çokgenin çevresi çemberin çevresinden biraz küçük, dıştakinin çevresi biraz büyüktür. Kenar sayısını artırdıkça iki çokgen de çembere yaklaşır.

Arşimet altıgenle başladı ve kenar sayısını ikiye katlaya katlaya 96 kenarlı çokgenlere kadar çıktı. Sonunda şu aralığı buldu:

Yani pi’nin yaklaşık 3,1408 ile 3,1429 arasında olduğunu gösterdi. Hesap makinesi bile olmadan ulaşılan bu sonuç, matematik tarihinin en etkileyici başarılarından biridir. Sonraki yüzyıllarda Çinli, Hintli, İslam dünyasından ve Avrupalı matematikçiler daha fazla basamak hesapladı. 15. yüzyılda Semerkant’ta çalışan Cemşid el-Kâşî, pi’yi 16 ondalık basamağa kadar doğru hesaplamıştı. Bugün bilgisayarlar trilyonlarca basamak hesaplamıştır.

Pi neden sonsuz? İrrasyonel sayılar

Burada önemli bir düzeltme yapalım: Pi’nin kendisi sonsuz büyük bir sayı değildir. 3 ile 4 arasında, gayet belirli bir sayıdır. “Sonsuz” olan, ondalık gösteriminin hiç bitmemesi ve hiçbir zaman düzenli bir tekrara girmemesidir.

Bunun nedeni pi’nin irrasyonel bir sayı olmasıdır. Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{22}{7}$ gibi. Rasyonel sayıların ondalık gösterimi ya biter ($\frac{1}{4} = 0{,}25$) ya da bir noktadan sonra tekrar eder ($\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$, $\frac{22}{7} = 3{,}142857\,142857\ldots$).

1761’de İsviçreli matematikçi Johann Heinrich Lambert, pi’nin iki tam sayının oranı olarak yazılamayacağını kanıtladı. Yani pi’nin ondalık gösterimi ne biter ne de tekrar eder. 1882’de Ferdinand von Lindemann daha da güçlü bir sonuç kanıtladı: Pi aşkın (transandantal) bir sayıdır; tam sayı katsayılı hiçbir polinom denkleminin kökü değildir. Bu kanıt, eski Yunanlılardan beri sorulan “pergel ve cetvelle bir daireyle aynı alana sahip kare çizilebilir mi?” sorusunu da kesin olarak “hayır” diye yanıtladı.

Gerçekten kaç basamağa ihtiyaç var?

Trilyonlarca basamak hesaplanmış olsa da pratikte çok azına ihtiyaç duyulur. NASA’nın Jet İtki Laboratuvarı’ndaki mühendisler, gezegenler arası uzay aracı yörüngesi hesaplarında pi için yalnızca 15 ondalık basamak kullandıklarını açıklamıştır. Bu kadar basamakla Güneş Sistemi ölçeğindeki mesafelerde bile hata, son derece küçük kalır. Gözlemlenebilir evrenin büyüklüğündeki bir çemberin çevresini bir atom boyutundan daha iyi bir doğrulukla hesaplamak için bile kırk küsur basamak yeterlidir.

Peki o kadar basamak neden hesaplanıyor? Bilgisayar donanımlarını ve algoritmaları test etmek, sayıların yapısını incelemek ve elbette insanın merakı.

Sık yapılan yanılgılar

“22/7, pi’nin kendisidir.” Hayır. $\frac{22}{7} = 3{,}142857\ldots$ iken $\pi = 3{,}141592\ldots$’dir. 22/7 iyi bir yaklaşımdır, ama rasyonel bir sayıdır; pi ise irrasyoneldir.

“Pi sonsuz büyüklükte bir sayıdır.” Pi, 3 ile 4 arasında belirli bir sayıdır. Sonsuz olan, ondalık basamaklarının dizisidir.

“Pi’nin basamaklarında her sayı dizisi kesinlikle vardır.” Bu sık duyulan bir iddiadır, ama matematiksel olarak kanıtlanmış değildir. Pi’nin basamaklarının bu özelliğe sahip olup olmadığı hâlâ açık bir sorudur.

“Pi’nin değerini bir gün tam olarak öğreneceğiz.” Pi’nin değeri zaten tam olarak tanımlıdır ve istediğimiz kadar basamağını hesaplayabiliriz. Ama irrasyonel olduğu için hiçbir zaman sonlu bir ondalık sayı ya da kesir olarak yazamayız.

Evde dene: Bir iple pi’yi ölç

Malzemeler: İp ya da terzi metresi, cetvel, evdeki yuvarlak nesneler (bardak, tencere kapağı, kavanoz, tabak).

1. İpi nesnenin çevresine bir kez sarın ve ipin uzunluğunu cetvelle ölçün. Bu çevredir.
2. Nesnenin en geniş yerinden çapını ölçün.
3. Çevreyi çapa bölün.
4. Sonuçları bir tabloya yazın ve ortalamasını alın.

Muhtemelen 3,0 ile 3,3 arasında değerler bulacaksınız. Büyük nesnelerde ölçüm hatası oransal olarak küçüldüğü için sonuçlar genellikle 3,14’e daha çok yaklaşır. Sınıfça yapılırsa onlarca ölçümün ortalaması şaşırtıcı derecede iyi bir pi değeri verebilir. Bu deney, pi’nin bir ezber sayısı değil, ölçülebilir bir gerçek olduğunu gösterir.

Özetle

• Pi, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır ve her çember için aynıdır.
• Çevre $2\pi r$, dairenin alanı $\pi r^2$ formülüyle bulunur.
• Arşimet, çokgenler kullanarak pi’yi 223/71 ile 22/7 arasına sıkıştırdı.
• Pi irrasyoneldir: Ondalık gösterimi ne biter ne de tekrar eder.
• Pratik hesaplarda birkaç basamak, uzay görevlerinde bile 15 basamak yeterlidir.

Geometri ve sayılar hakkında daha fazlası için Matematik konularına ve matematik yazılarımıza göz atabilirsiniz. 14 Mart’ın (3/14) dünyanın pek çok yerinde Pi Günü olarak kutlandığını da hatırlatalım.