Dişli kutusu nasıl çalışır? Hız ile tork arasındaki takas

Bisikletle dik bir yokuşa geldin. Pedallar ağırlaşıyor, sen de vitesi “hafif”e alıyorsun: Pedalları daha sık çeviriyorsun, bisiklet yavaşlıyor ama yokuşu çıkabiliyorsun. Arabada da aynısı olur: Kalkışta birinci vitese geçilir, yolda hızlandıkça üst viteslere çıkılır. İkisinde de iş gören düzenek aynıdır: dişli kutusu, yani şanzıman. Bu yazıda dişli kutusunun neyi değiştirip neyi değiştiremediğini sayılarla ve içini açabildiğin bir çizimle anlatıyoruz.

Dişli oranı: kim kaç tur döner?

İki dişli birbirini kavradığında, birinin bir dişi geçtiği anda ötekinin de bir dişi geçer. 14 dişli küçük bir dişli 28 dişli büyük bir dişliyi çeviriyorsa, küçük dişli bir tam tur attığında büyük dişli yalnız yarım tur döner. Büyük dişlinin dönüşü iki kat yavaştır.

Bu ilişkiye dişli oranı denir: çevrilen dişlinin diş sayısının, çeviren dişlinin diş sayısına oranı.

Dakikadaki tur sayısına devir (dev/dk) deriz. Çeviren dişli dakikada 1500 tur atıyorsa çevrilen dişli $1500 / 2 = 750$ tur atar. Diş sayısı ile devir arasında ters orantı vardır: Çarpımları sabittir, $14 \cdot 1500 = 28 \cdot 750$. Bu fikri matematik tarafından Ters orantı dersinde iki dişliyle deneyebilirsin; doğru ve ters orantı yazımız da farkı günlük örneklerle anlatıyor. Bu yazı işin mühendislik tarafına bakıyor: Hız düşerken ne kazanıyoruz?

Kavrayan iki dişli bir de yönü değiştirir: Ters yönlere dönerler. Araya üçüncü bir dişli girerse dönüş yönü yeniden eski hâline gelir.

Tork: döndürme etkisi

Bir somunu sıkarken kısa bir anahtar yerine uzun bir anahtar kullanırsan aynı kuvvetle somunu daha kolay çevirirsin. Kuvvetin döndürme etkisine tork denir. Tork, kuvvet ile kol uzunluğunun çarpımıdır ve birimi newton·metredir (N·m).

Dişlilerde de durum aynıdır. Küçük dişli büyük dişliyi dişinden iterek çevirir. İki dişlinin değdiği noktadaki kuvvet aynıdır, ama büyük dişlide bu kuvvet merkezden daha uzakta etki eder. Bu yüzden büyük dişlinin milindeki tork, oran kadar büyür. 28/14 dişli çiftinde çıkış torku girişin iki katıdır.

Takas: tork × devir neredeyse sabit

Dönen bir milin taşıdığı güç, torku ile açısal hızının çarpımıdır. Açısal hız $\omega$ saniyedeki radyan cinsindendir ve devirden şöyle bulunur: $\omega = 2\pi n / 60$.

Dişli kutusu enerji üretmez. Sürtünmeyi bir kenara bırakırsak girişten giren güç çıkıştan aynen çıkar:

Oran $i$ ise çıkış $i$ kat yavaş döner ve $i$ kat fazla tork verir. Hız ile tork arasında bir takas yapılır; çarpım değişmez. Gerçek bir dişli kutusunda dişlerin sürtünmesi ve yağın direnci bu gücün bir kısmını ısıya çevirir. İyi yağlanmış düz dişli çiftlerinde bu kayıp genellikle yüzde birkaç düzeyindedir, bu yüzden “neredeyse sabit” demek daha doğru.

Çözümlü örnek. Aşağıdaki çizimde kullanılan sayılar şunlar: Motor en çok 2 N·m tork verebiliyor ve dakikada 1500 tur dönüyor. Çıkış miline yarıçapı 5 cm olan bir tambur bağlı; tambura sarılı ip 6 kg’lık bir yükü kaldırmaya çalışıyor. Yükü kaldırmak için tamburda gereken tork:

• 3. vites (1 : 1): Çıkış en çok 2 N·m verir. 2,94 N·m gerekiyor; yük kalkmaz, motor zorlanıp durur.
• 2. vites (2 : 1): Çıkış en çok $2 \cdot 2 = 4$ N·m verir; yük kalkar. Çıkış 750 dev/dk döner. Motor yalnız gereken torku verir: $2{,}94 / 2 = 1{,}47$ N·m. Güç: $1{,}47 \cdot 157 \approx 231$ W girer, $2{,}94 \cdot 78{,}5 \approx 231$ W çıkar.
• 1. vites (4 : 1): Çıkış en çok 8 N·m verir; yük rahatça kalkar ama iki kat yavaş, 375 dev/dk. Güç de yarıya iner (yaklaşık 116 W), çünkü yük aynı, hız yarı.

Aynı motor, aynı yük: Vites küçüldükçe güç artmaz; yükü kaldırabilecek tork artar ve hız düşer.

Dişli kutusunun içine bakalım

Çizimdeki düzenek, eski otomobillerde ve bugün de birçok makinede kullanılan yapının sade bir örneği: üç ileri vitesli, kapağı açılmış bir dişli kutusu. Vites kolunu oynat, motor devrini ve yükü değiştir; kendi diş sayılarını da yazabilirsin.

• Giriş mili motordan gelir. Üstündeki küçük dişli, arkadaki ara milin büyük dişlisini sürekli çevirir. Bu sabit çifttir; varsayılan dişlilerde ara mil her zaman girişin yarı hızında döner.
• Ara milde üç dişli daha vardır. Bunlar öndeki çıkış milindeki dişlileri sürekli kavrar. Ama çıkış milindeki dişliler mile bağlı değildir, mil üstünde boşta döner.
• Dişlilerin arasında, çıkış miline yivli bir yüzeyle oturan kayar kavrama halkaları vardır. Halka mil boyunca kayıp bir dişlinin yanındaki dişlere oturduğunda o dişliyi mile kilitler. Hangi dişli kilitliyse güç ondan geçer: Çizimde mor görünen yol budur.
• Halkaları vites çatalları iter; çatallar raylara bağlıdır. Vites kolunun alt ucu bir rayın yuvasına girer; kolu itince ray ve çatal kayar.
• 3. viteste halka çıkış milini doğrudan giriş miline kilitler. Oran 1 : 1’dir; buna direkt vites denir.

Her vites değişiminde önce boşa geçilir: Kol rayı ortaya çeker, sonra öteki raya geçer. Boştayken dişliler döner ama hiçbiri çıkış miline kilitli değildir. Gerçek otomobillerde ayrıca senkromeç denen sürtünmeli halkalar, kavrama dişleri birbirine girmeden önce iki parçanın hızını eşitler; böylece vites sarsıntısız geçer. Çizimde bu ayrıntı yok.

Bisiklet vitesi: aynı fikir, zincirle

Bisiklette dişliler birbirine doğrudan değmez; aralarında zincir vardır. Ama hesap aynıdır: Önde pedallara bağlı aynakol dişlisi, arkada tekerleğe bağlı ruble dişlisi vardır. Pedalın bir turunda tekerlek $N_{\text{ön}} / N_{\text{arka}}$ tur döner.

• Önde 50, arkada 11 diş: Pedalın her turunda tekerlek yaklaşık 4,5 tur atar. Düz yolda hızlı gitmek için “ağır” vites.
• Önde 34, arkada 32 diş: Tekerlek pedal başına yaklaşık 1,06 tur atar. Yokuş için “hafif” vites.

Dikkat: Bisiklette arkadaki büyük dişli hafif vitestir. Bu makinenin motoru bacaklarındır. Rahat bir pedal temposunda belli bir kuvvetten fazlasını uzun süre veremezsin; vites, yolun istediği torku bacaklarının verebileceği aralığa getirir.

Araba şanzımanı ve yokuşta küçük vites

Bir otomobil motoru yalnız belli bir devir aralığında verimli ve güçlü çalışır: Çok düşük devirde boğulur, çok yüksek devirde zorlanır. Tekerlekler ise duruştan yüksek hızlara kadar her hızda dönmek zorundadır. Şanzıman bu iki dünyayı birbirine bağlar. Birçok otomobilde birinci vitesin oranı 3 ile 4 arasındadır, en üst vites ise 1’e yakın ya da 1’in altındadır. Bunun üstüne tekerleklerden önce bir de son dişli çifti (diferansiyeldeki dişliler) oranı bir kez daha çarpar.

Yokuşta neden küçük vites? Yokuş yukarı giderken ağırlığın aracı geri çeken bileşeni tekerlekte daha büyük bir kuvvet, yani daha büyük bir tork ister. Küçük viteste oran büyüktür: Motorun torku daha çok katlanır ve motor kendi rahat devrinde kalır. Bedeli hızdır; aynı motor devrinde araç daha yavaş gider. Uzun bir yokuş aşağıda da küçük vites işe yarar: Tekerlekler motoru döndürmeye çalışır, motorun iç direnci aracı yavaşlatır (motor freni) ve frenler aşırı ısınmaz.

Sık karıştırılanlar

• “Dişli kutusu gücü artırır.” Artırmaz. Torku artırırken hızı aynı oranda düşürür; güç en iyi durumda aynı kalır, gerçekte biraz azalır.
• “Büyük dişli her zaman yavaştır.” Hangi dişlinin çevirdiğine bağlıdır. Küçük dişli büyüğü çevirirse dönüşü yavaşlatır, büyük dişli küçüğü çevirirse hızlandırır.
• “Hızı da torku da aynı anda artırabilirim.” Aynı güçle olmaz. İkisini birden istiyorsan daha güçlü bir motor gerekir.
• “Küçük vites, küçük dişli demektir.” “Küçük vites” oranı büyük, yavaş ve güçlü vites anlamına gelir; bisiklette bunun karşılığı arkadaki büyük dişlidir.

Dişliler yeni bir buluş değil. 13. yüzyılın başında el-Cezerî’nin kitabındaki su makinelerinde dişli çarklar hareketin yönünü değiştiriyordu; fil saati yazımızda o atölyeye göz atabilirsin.

Özet

• Dişli oranı = çevrilen dişlinin diş sayısı / çeviren dişlinin diş sayısı. Devir bu oranla düşer, tork bu oranla artar.
• Güç = tork × açısal hız. Dişli kutusu güç üretmez; sürtünme hariç girişteki güç çıkıştakine eşittir.
• Vites değiştirmek, kayar bir halkayla başka bir dişli çiftini çıkış miline kilitlemektir.
• Yokuşta ve kalkışta küçük vites (büyük oran): daha çok tork, daha az hız.
• Bisiklette arkadaki büyük dişli hafif vitestir; arabada son dişli çifti oranı bir kez daha çarpar.