6 eksenli robot kol: eklemler, serbestlik derecesi ve ileri kinematik

Bir otomobil fabrikasının kaynak hattında turuncu kollar art arda aynı hareketi yapar: kaynak ucunu bir noktaya götürür, birkaç saniye bekler, sonra bir sonrakine geçer. Bir elektronik fabrikasında daha küçük bir kol, bir yongayı alıp devre kartının üstüne bırakır. Bu kolların çoğunun ortak bir özelliği vardır: altı eklemleri vardır. Bu yazıda bir robot kolun nasıl düşündüğünü, yani eklem açılarından tutucunun yerini nasıl bulduğunu adım adım açıyoruz. Aşağıdaki çizimde kolu kendin çevirip sayıları izleyebilirsin.

Eklem nedir?

Robot kol, birbirine eklemlerle bağlanmış sert parçalardan oluşur. Bu parçalara bağ (link), aralarındaki hareketli bağlantılara eklem (joint) denir. Endüstriyel kollarda en sık iki tür eklem görülür:

• Döner eklem: İki parça bir eksen çevresinde birbirine göre döner. Kapı menteşesi ya da senin dirseğin buna örnektir. Eklemin durumu bir açıyla anlatılır.
• Kayar eklem: Bir parça ötekinin üstünde düz bir çizgi boyunca kayar. Çekmece rayı buna örnektir. Eklemin durumu bir uzunlukla anlatılır.

Altı eksenli bir kolun altı eklemi de döner eklemdir. Her eklemi küçük bir elektrik motoru çevirir; motorun arkasındaki bir kodlayıcı (enkoder) eklemin o anki açısını denetleyiciye bildirir. Yani kol her an altı sayıyı bilir: altı eklem açısı.

Serbestlik derecesi: neden tam altı?

Bir cismin konumunu ve duruşunu tam olarak anlatmak için kaç sayı gerekir? Masanın üstündeki bir kalemi düşün.

1. Kalemin ucunun nerede olduğunu söylemek için üç sayı gerekir: ileri-geri (x), sağa-sola (y) ve yukarı-aşağı (z).
2. Ama bu yetmez. Kalem aynı noktada dik durabilir, yatabilir ya da eğik durabilir. Kalemin nereye baktığını anlatmak için üç sayı daha gerekir: kendi ekseni çevresinde ne kadar döndüğü (yuvarlanma), ucunun ne kadar aşağı eğildiği (yunuslama) ve hangi yöne çevrildiği (sapma).

Toplam altı sayı. Bu sayıya serbestlik derecesi denir: Uzayda serbestçe hareket eden bir cismin altı serbestlik derecesi vardır, üçü konum, üçü yönelim için. Bir robot kolun tutucusunu her noktaya her açıyla götürebilmesi için de en az altı bağımsız hareketi olmalıdır. Her döner eklem bir serbestlik derecesi kattığı için altı eklem bu işi görür. Daha az eklemli bir kol (örneğin dört eksenli bir paketleme robotu) bazı yönelimlerden vazgeçer; daha fazla eklemli bir kol ise aynı noktaya farklı duruşlarla ulaşabilir. İnsan kolu, omuzdaki üç, dirsekteki bir ve bilekteki üç hareketle genellikle yedi serbestlik dereceli kabul edilir. Bu yüzden elini masada sabit tutarken dirseğini oynatabilirsin.

Altı eklem, altı görev

Endüstriyel kollarda eklemlerin dizilişi çoğunlukla aynıdır. Tabandan uca doğru:

1. Taban (J1): Bütün kolu dikey bir eksen çevresinde döndürür. Kolun hangi yöne baktığına karar verir.
2. Omuz (J2): Üst kolu öne ve arkaya eğer.
3. Dirsek (J3): Önkolu kaldırır ve indirir.
4. Önkol dönüşü (J4): Önkolu kendi ekseni çevresinde çevirir.
5. Bilek eğimi (J5): Tutucuyu yukarı ve aşağı eğer.
6. Flanş dönüşü (J6): Tutucuyu kendi ekseni çevresinde çevirir.

İlk üç eklem kolun ucunu uzayda bir noktaya taşır; son üç eklem, eksenleri bilekte tek bir noktada kesiştiği için, tutucunun o noktada nereye baktığını ayarlar. Bu düzene küresel bilek denir. Mühendisler bu ayrımı çok sever, çünkü zor bir problemi iki küçük probleme böler: Önce bilek merkezini doğru yere getir, sonra bileği çevir.

Kolu kurcala

Aşağıdaki kol, gerçek bir endüstriyel kolun basitleştirilmiş bir öğretim modelidir. Omuz ekseni tezgâhtan 200 mm yüksekte; üst kol 220 mm, önkol 210 mm, bilek merkezinden tutucunun iki parmağı arasındaki noktaya (TCP, takım merkez noktası) 90 mm. Tezgâhtaki ızgaranın her karesi 50 mm.

Şunları dene:

• Yalnız J1’i çevir. TCP’nin yüksekliği (z) hiç değişmez; x ve y bir çember üzerinde dolaşır.
• J2’yi 30°’ye getir. Uç nokta öne ve aşağı iner. Aşağıdaki çözümlü örnekle aynı sayıları görmelisin.
• Önce J5’i 0° yap, sonra J4 ve J6’yı ayrı ayrı çevir. İkisi de aynı şeyi yapar: Tutucu aynı eksen çevresinde döner. Buna aşağıda değineceğiz.
• Hedef nokta kutularına bir x, y, z yaz ve kolun oraya kendi bulduğu açılarla gitmesini izle.

İleri kinematik: açılardan noktaya

İleri kinematik, şu soruyu cevaplar: Eklem açılarını biliyorsam, tutucu nerededir ve nereye bakar? Cevap, tabandan uca doğru sırayla iki tür adımı uygulamaktır: Her eklemde bir dönüş, her bağda bir öteleme (kaydırma).

Önce en basit durumu ele alalım: Taban (J1), önkol dönüşü (J4), bilek (J5) ve flanş (J6) sıfırda olsun, yalnız omuz (q2) ve dirsek (q3) oynasın. O zaman kol tek bir dikey düzlemde kalır ve iki bağlı bir sarkaç gibi davranır. Önkol, bilek ve tutucu bir çizgi üzerinde olduğu için onları tek bir parça gibi düşünebiliriz: Dirsekten TCP’ye 210 + 90 = 300 mm.

Açıları şöyle ölçelim: q2 üst kolun dikeyden öne eğilme açısı, q2 + q3 ise önkolun yataydan aşağı eğilme açısı. Bu durumda:

• Dirseğin yeri: ileri 220 · sin q2, yukarı 200 + 220 · cos q2
• TCP’nin yeri: dirseğe ek olarak ileri 300 · cos(q2 + q3), aşağı 300 · sin(q2 + q3)

Çözümlü örnek

q2 = 30°, q3 = 0° olsun.

1. Dirsek: ileri 220 · sin 30° = 220 · 0,5 = 110 mm; yukarı 200 + 220 · cos 30° ≈ 200 + 220 · 0,866 ≈ 390,5 mm.
2. Önkol 30° aşağı eğik: ileri 300 · cos 30° ≈ 259,8 mm, aşağı 300 · sin 30° = 150 mm.
3. Topla: x ≈ 110 + 259,8 = 369,8 mm, z ≈ 390,5 − 150 = 240,5 mm, y = 0.

Figürde J2’yi 30°’ye getirince okuma “x 370 · y 0 · z 241 mm” olur. Şimdi J1’i 90°’ye çevir: Kol sola döner, x ile y yer değiştirir (x ≈ 0, y ≈ 370) ve z yine 241 kalır. Taban dönüşü, düzlemdeki sonucu bir çember üzerinde döndürür: x = r · cos q1, y = r · sin q1; burada r, TCP’nin taban ekseninden yatay uzaklığıdır.

Altı eklemin hepsi: matrislerle zincir

Bütün eklemler oynadığında elle hesap uzar, ama fikir aynıdır. Her dönüş ve her öteleme, dört satır ve dört sütunlu bir dönüşüm matrisiyle yazılır. Tabandan uca bu matrisler sırayla çarpılır; sonuçta çıkan tek matris hem TCP’nin yerini (x, y, z) hem de tutucunun yönelimini verir. Robotikte bu zinciri yazmanın yaygın bir kuralı, 1955’te Jacques Denavit ve Richard Hartenberg’in önerdiği DH parametreleridir: Her eklem dört sayıyla anlatılır (iki açı, iki uzunluk). Figürdeki kol aynı işi daha okunur biçimde, her eklem için bir dönüş ve her bağ için bir ötelemeyle yapar; panelde gördüğün x, y, z ve yuvarlanma, yunuslama, sapma bu çarpımın sonucudur.

Ters kinematik: noktadan açılara

Gerçek bir işte çoğunlukla tersini isteriz: “Parça şurada, tutucuyu oraya götür.” Hangi açılar bu noktayı verir? Buna ters kinematik denir ve ileri kinematikten daha zordur:

• Birden çok çözüm olabilir. Aynı noktaya dirsek yukarıdayken de, aşağıdayken de ulaşılabilir. Denetleyici bunlardan birini seçmek zorundadır.
• Hiç çözüm olmayabilir. Nokta çok uzaktaysa ya da eklem sınırları izin vermiyorsa kol oraya ulaşamaz.
• Bazı duruşlar kararsızdır. Bu duruşlara tekil konum (singularity) denir. Figürde J5 = 0° iken J4 ile J6’nın eksenleri aynı çizgiye düşer; ikisi aynı hareketi yapar ve kol bir serbestlik derecesini geçici olarak kaybeder. Gerçek kollar bu duruşların yakınında çok yavaşlar ya da onlardan kaçınır.

Küresel bilek burada yine işe yarar. 1968’de Donald Pieper’ın gösterdiği gibi, ardışık üç eklemin eksenleri tek noktada kesişen kollarda ters kinematik kapalı formüllerle çözülebilir: Önce bilek merkezinin yeri ilk üç eklemle bulunur, sonra son üç eklem yönelimi ayarlar. Figürdeki Hedef nokta kutusu da bu yolu izler: Tutucu dik aşağı bakacak biçimde, taban açısını noktanın yönünden, omuz ve dirsek açılarını iki bağlı üçgenden (kosinüs teoremi), bilek açısını da “önkol + bilek = dik aşağı” koşulundan bulur.

Erişim alanı: kol nereye uzanabilir?

Kolun ulaşabildiği bütün noktaların oluşturduğu bölgeye çalışma alanı (workspace) denir. Dış sınırı kolayca bulunur: Kol tamamen düz uzandığında omuzdan 220 + 210 + 90 = 520 mm uzağa erişir. TCP hiçbir zaman omuz merkezli bu kürenin dışına çıkamaz; figürdeki soluk daire ve kesikli yay bu küreyi gösterir. Gerçek alan bundan küçüktür, çünkü:

• eklemlerin dönme sınırları vardır (kablolar ve dişliler sonsuz dönmeye izin vermez),
• kol kendine ve çevresine (tezgâh, duvar, başka makineler) çarpmamalıdır,
• tutucunun istenen açıyla gelmesi gerekiyorsa erişim daha da daralır.

Figürde kolu tezgâha çok yaklaştırırsan uyarı çıkar. Gerçek bir robotta denetleyici bu hareketi baştan reddeder.

Gerçek dünyada robot kollar

Fabrikalardaki robot kolların güçlü olanları insanlarla aynı alanda çalışmaz; çevreleri çitle ya da ışık perdeleriyle kapatılır. Endüstriyel robotların güvenlik kuralları uluslararası ISO 10218 standardında tanımlanır. Son yıllarda yaygınlaşan işbirlikçi robotlar (cobot) ise kuvveti ve hızı sınırlanmış olarak insanların yanında çalışabilecek biçimde tasarlanır.

Bir robot kolun kalitesi de iki ayrı sayıyla anlatılır: Tekrarlanabilirlik, kolun aynı noktaya tekrar tekrar ne kadar yakın döndüğünü; doğruluk ise hesaplanan noktaya gerçekte ne kadar yakın gittiğini anlatır. Endüstriyel kolların tekrarlanabilirliği çoğunlukla doğruluğundan çok daha iyidir; bu yüzden kollar sık sık “elle gösterilerek” (bir noktaya götürülüp kaydedilerek) programlanır.

Kendi kolunu yapmak istersen

Bir robot kolu kâğıt üstünde anlamakla onu kurmak arasında motor seçimi, dişli oranları, kablolama ve programlama gibi pek çok adım vardır. Kuazara’da bu adımları uygulamalı olarak anlatacak bir kurs hazırlanıyor: 6 eksenli robot kol yapımı. Kursun ilk konusu, bu yazıda gördüğün eklemler, serbestlik derecesi ve ileri kinematik olacak.