Bileşik faiz nedir? Küçük farkların zamanla büyümesi

Bir satranç tahtasının ilk karesine bir pirinç tanesi, ikinci karesine iki, üçüncüsüne dört koyduğunuzu ve her karede miktarı ikiye katladığınızı düşünün. İlk karelerde miktar önemsizdir; ama 64. kareye ulaştığınızda gereken pirinç, dünyanın yıllık üretimini çok aşar. Bu eski hikâye, üstel büyümenin insan sezgisini nasıl şaşırttığını anlatır. Bileşik faiz, aynı matematiğin gündelik hayattaki en tanıdık örneğidir. Bu yazıda bileşik faizi bir yatırım tavsiyesi olarak değil, bir matematik kavramı olarak ele alıyoruz: Küçük bir oranın, zamanla nasıl büyük farklara dönüştüğünü anlamak, yalnızca para için değil, nüfus artışından bilgisayar biliminden virüslerin yayılmasına kadar pek çok konuyu kavramak için gereklidir.

Not: Bu yazı eğitim amaçlıdır ve finansal tavsiye niteliği taşımaz. Gerçek kararlar için ürünün koşullarını, vergileri ve masrafları dikkatle incelemek ve gerekirse uzman görüşü almak gerekir.

Basit faiz ile bileşik faiz arasındaki fark

Bir bankaya 10.000 TL yatırdığınızı ve yıllık yüzde 10 faiz aldığınızı varsayalım.

Basit faizde faiz her yıl yalnızca ana para üzerinden hesaplanır. Her yıl 1.000 TL faiz alırsınız. 20 yıl sonunda toplam:

Bileşik faizde ise her yılın faizi ana paraya eklenir ve bir sonraki yıl faiz, bu büyümüş tutar üzerinden hesaplanır. Yani faiz de faiz kazanır. İlk yıl sonunda 11.000 TL’niz olur. İkinci yıl faiz 1.000 değil 1.100 TL’dir ve tutar 12.100 TL’ye çıkar. Üçüncü yılın sonunda 13.310 TL olur ve büyüme her yıl biraz daha hızlanır.

Bileşik faiz formülü

Her yıl tutar $(1 + r)$ ile çarpıldığına göre, $n$ yıl sonra elde edilen tutar şöyledir:

Burada $P$ ana para, $r$ yıllık faiz oranı (ondalık olarak), $n$ ise yıl sayısıdır. Örneğimizde:

Aynı oran, aynı süre, aynı başlangıç parası; ama basit faizde 30.000 TL, bileşik faizde yaklaşık 67.275 TL. Fark ilk yıllarda küçüktür: İlk yılın sonunda iki yöntem de 11.000 TL verir, ikinci yılın sonunda fark yalnızca 100 TL’dir. Ama fark her yıl büyür ve 20. yılda iki kattan fazlasına ulaşır.

Basit faiz bir doğru gibi büyür: Her yıl aynı miktar eklenir. Bileşik faiz ise bir üstel eğri gibi büyür: Her yıl aynı oranda artar. Grafiğe döktüğünüzde ilk yıllarda iki çizgi neredeyse üst üste çıkar, sonra üstel eğri yukarı doğru kıvrılarak açılır.

Küçük oran farkları neden büyük sonuçlar doğurur?

Bileşik büyümenin en öğretici yanı, oranlardaki küçük farkların uzun sürelerde büyük farklara dönüşmesidir. Bir düşünce deneyi yapalım: 10.000 TL’yi 30 yıl boyunca biri yıllık yüzde 7, diğeri yüzde 6 büyüyen iki farklı yolla değerlendirdiğinizi düşünün.

Oranlar arasında yalnızca 1 puan fark var; ama 30 yıl sonra ikinci tutar, birincinin yaklaşık dörtte üçü kadardır. Bu yüzden uzun vadeli hesaplarda, ilk bakışta önemsiz görünen yıllık yüzde 1’lik bir masraf ya da kesinti, sonuçta toplam büyümenin dörtte birine yakın bir kısmını götürebilir.

Zaman, oranın en güçlü ortağıdır

Formüldeki $n$ bir üs olduğu için süre, sonucu oran kadar, hatta ondan daha çok etkiler. 10.000 TL’nin yıllık yüzde 7 ile 10 yılda yaklaşık 19.672 TL’ye ulaştığını, 30 yılda ise yaklaşık 76.123 TL’ye ulaştığını görürüz. Süre üç katına çıktığında tutar yaklaşık 3,9 katına çıkmıştır. Daha da çarpıcısı kazanca bakmaktır: 30 yıllık kazanç (yaklaşık 66.123 TL), 10 yıllık kazancın (yaklaşık 9.672 TL) yaklaşık 7 katıdır. Üstel büyümede ilk yıllar sabır, son yıllar ise sürpriz demektir.

Bunu bir soruyla sınayabilirsiniz: Bir göldeki nilüfer yaprakları her gün ikiye katlanıyor ve göl 30. günde tamamen kaplanıyorsa, gölün yarısı hangi gün kaplanmıştır? Sezgimiz çoğu zaman 15. günü söyler; oysa doğru cevap 29. gündür. Üstel süreçlerde büyümenin büyük bölümü en sonda, çok kısa bir zaman diliminde gerçekleşir. Bu yüzden insanlar üstel süreçlerin sonunu genellikle olduğundan uzak sanır.

72 kuralı: kafadan ikiye katlanma süresi

Bir tutarın ikiye katlanması için ne kadar süre gerekir? Bunu tam hesaplamak için logaritma kullanırız:

Ama pratik bir kestirme vardır: 72 kuralı. Yüzde olarak yazılmış oranı 72’ye bölün; sonuç yaklaşık ikiye katlanma süresidir.

• Yüzde 6 için: $72 / 6 = 12$ yıl. Tam hesap: yaklaşık 11,9 yıl.
• Yüzde 8 için: $72 / 8 = 9$ yıl. Tam hesap: yaklaşık 9,0 yıl.
• Yüzde 12 için: $72 / 12 = 6$ yıl. Tam hesap: yaklaşık 6,1 yıl.

Kural, $\ln 2 \approx 0{,}693$ olmasından ve küçük oranlar için $\ln(1 + r) \approx r$ yaklaşımından gelir. Teorik olarak 69,3 sayısı daha doğru olurdu; ama 72’nin 2, 3, 4, 6, 8, 9 ve 12’ye tam bölünmesi kafadan hesap için büyük kolaylık sağlar ve yaygın oran aralıklarında oldukça iyi sonuç verir. Kural çok yüksek oranlarda daha fazla sapma gösterir; bu durumlarda tam formülü kullanmak gerekir.

Aynı kural borç için de geçerlidir. Ödenmeyen bir borç, bileşik faizle aynı hızda büyür. Yüksek faizli bir borcun birkaç yıl içinde ikiye katlanabileceğini bilmek, bileşik faizin iki yönlü bir kılıç olduğunu hatırlatır.

Faiz ne sıklıkla eklenir? e sayısının doğuşu

Faiz yılda bir yerine daha sık eklenirse ne olur? Yıllık oran $r$ ve yılda $m$ kez faiz eklendiğinde formül şöyle olur:

Yıllık yüzde 12 oran için bir yıllık büyüme çarpanlarına bakalım:

Sıklık arttıkça çarpan büyür, ama sınırsız büyümez; belirli bir değere yaklaşır. Bu soru, 17. yüzyılın sonlarında İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli’nin de ilgisini çekmişti. Bernoulli, yüzde 100 faizin giderek daha sık eklenmesi durumunda bir yıl sonunda paranın kaç katına çıkacağını inceledi ve sonucun sonsuza kadar büyümediğini, 2 ile 3 arasında belirli bir sayıya yaklaştığını gösterdi. Bu sayının değeri yaklaşık 2,718’dir:

Bu sayı bugün e olarak bilinir ve matematiğin en önemli sabitlerinden biridir. Faizin sürekli eklendiği durumda formül de zarif bir hâl alır:

Yüzde 12 için $e^{0{,}12} \approx 1{,}1275$ olur; tablodaki son satır budur. Gündelik bir para sorusundan, doğanın büyüme ve azalma süreçlerinin hemen hepsinde karşımıza çıkan bir sabitin doğması, matematiğin güzel sürprizlerinden biridir.

Enflasyon: nominal ve reel getiri

Bileşik faiz hesaplarında sık atlanan bir nokta, paranın satın alma gücünün de zamanla değişmesidir. Fiyatlar genel olarak artıyorsa, elinizdeki TL miktarı artsa bile o parayla alabileceğiniz şeyler artmayabilir.

Bir yılda paranız yüzde 50 artarken fiyatlar da yüzde 45 artmış olsun. Reel, yani satın alma gücü cinsinden artış yüzde 5 değildir:

Yani reel artış yaklaşık yüzde 3,45’tir. Burada $\pi$ enflasyon oranıdır. “Nominal oran eksi enflasyon” pratiği düşük oranlarda iyi bir yaklaşımdır, ama oranlar yüksek olduğunda belirgin biçimde sapar. Enflasyon oranı faiz oranından yüksekse, reel getiri negatif olur: Tutar büyür, ama satın alma gücü azalır.

Bu ayrım, bileşik büyümenin yalnızca “ne kadar” değil, “neyle ölçüldüğü” sorusunu da içerdiğini gösterir.

Bileşik büyüme paranın ötesinde

Aynı matematik pek çok farklı alanda karşımıza çıkar:

• Nüfus artışı: Yıllık yüzde 2 büyüyen bir nüfus, 72 kuralına göre yaklaşık 36 yılda ikiye katlanır; tam hesap yaklaşık 35 yıl verir.
• Bakteri kolonileri: Uygun koşullarda belirli aralıklarla bölünen bakteriler, kısa sürede çok büyük sayılara ulaşır. Bu büyüme, besin ve alan sınırlı olduğu için sonsuza kadar sürmez.
• Radyoaktif bozunma: Tersine işleyen bir bileşik süreçtir; madde miktarı her yarı ömürde yarıya iner.
• Öğrenme ve beceriler: Bir beceriyi her gün biraz geliştirmenin uzun vadede büyük fark yaratacağı sıkça söylenir. Bu benzetme motive edicidir, ama gerçek öğrenme düzgün bir üstel eğri izlemez; hızlı ilerleme dönemleri, duraklamalar ve unutma da sürecin parçasıdır.

Gerçek dünyada hiçbir büyüme sınırsız biçimde üstel devam etmez. Ama üstel modeli anlamak, bir şeyin “yavaşça” başlayıp neden birdenbire “patladığını” kavramanın anahtarıdır.

Özetle

• Basit faizde faiz yalnızca ana para üzerinden, bileşik faizde ise birikmiş tutar üzerinden hesaplanır.
• Bileşik faiz formülü $A = P(1 + r)^n$’dir; süre bir üs olduğu için sonuç üzerinde çok güçlü bir etkisi vardır.
• Küçük oran farkları ve küçük masraflar, uzun sürelerde büyük farklara dönüşür.
• 72 kuralı, ikiye katlanma süresini kafadan tahmin etmeyi sağlar.
• Faiz ekleme sıklığı artırıldığında sonuç $e$ sayısıyla belirlenen bir sınıra yaklaşır.
• Enflasyon hesaba katılmadan yapılan büyüme hesapları yanıltıcı olabilir.

Üstel büyümeyi ve yüzdeleri daha derinden incelemek isterseniz matematik yazılarımıza ve matematik konularına göz atabilirsiniz. Kuazara’daki etkileşimli derslerde oranı ve süreyi kendiniz değiştirerek basit ve bileşik büyüme eğrilerinin nasıl ayrıştığını görebilir, formülleri ezberlemeden kavrayabilirsiniz.