Müzik ve matematik: Pisagor, oktav ve kulağa hoş gelen oranlar

Bir gitar telini çekip bırakın, bir nota duyarsınız. Şimdi aynı teli tam ortasından basıp tekrar çalın. Duyduğunuz ses, ilkinin “aynısı ama daha incesi” gibidir. Müzikte buna oktav denir. Peki iki farklı ses nasıl olur da kulağımıza “aynı nota” gibi gelir? Bu sorunun cevabı, yaklaşık 2500 yıl önce Antik Yunan’da sorulmaya başlandı ve bizi müziğin içindeki gizli matematiğe götürür.

Pisagor ve demirci çekiçleri efsanesi

Pisagor, MÖ 6. yüzyılda yaşamış Yunan düşünürüdür. Adını taşıyan dik üçgen teoremiyle tanınsa da, kendisi hakkında kesin bildiklerimiz çok azdır; hiçbir yazılı eseri günümüze ulaşmamıştır. Onun hakkında anlatılanların çoğu, yüzyıllar sonra yazılmış kaynaklardan gelir.

Bu kaynaklardan biri, MS 2. yüzyılda yaşamış Nikomakhos’un anlattığı ünlü bir hikâyedir: Pisagor bir demirci dükkânının önünden geçerken, örslere vuran çekiçlerin bazılarının birlikte hoş, bazılarının ise kötü ses çıkardığını fark eder. İçeri girip çekiçleri tartar ve hoş ses çıkaranların ağırlıkları arasında 2’ye 1, 3’e 2 gibi basit oranlar bulur.

Güzel bir hikâye, ama fiziksel olarak doğru değil. Bir çekicin örse vurduğunda çıkardığı ses, çekicin ağırlığıyla bu kadar basit bir şekilde ilişkili değildir. Aynı oranları gerilmiş tellere asılan ağırlıklarla elde etmeye çalışsanız da sonuç tutmaz: Bir teli bir oktav tizleştirmek için ağırlığı iki katına değil, dört katına çıkarmanız gerekir. Bunu 16. yüzyılın sonunda, Galileo Galilei’nin babası olan müzisyen Vincenzo Galilei deneylerle göstermiştir.

Asıl deney: Tek telli çalgı

Hikâyenin doğru olan kısmı, Pisagor’un takipçilerinin tellerin uzunluğu ile ses arasındaki ilişkiyi incelemesidir. Bunun için “monokord” denen, tek telli basit bir alet kullanılıyordu. Bir teli farklı noktalardan bölerek şunu buldular:

Kulağa en uyumlu gelen seslerin, en küçük tam sayılarla yazılan oranlara karşılık gelmesi Pisagorcuları çok etkiledi. Onlar için bu, evrenin sayılarla düzenlendiğinin bir kanıtıydı. Bu düşünce o kadar etkili oldu ki, yüzyıllar boyunca müzik, aritmetik, geometri ve astronomiyle birlikte dört matematik bilimi arasında sayıldı.

Frekans: Sesin sayısı

Bugün bu olayı frekansla açıklıyoruz. Ses, havadaki titreşimlerdir. Bir tel saniyede kaç kez titreşirse, o sesin frekansı odur ve hertz (Hz) ile ölçülür. Frekans yükseldikçe ses incelir.

Gerilmesi aynı kalan bir telde frekans, telin uzunluğuyla ters orantılıdır. Teli yarıya indirirseniz frekans iki katına çıkar. Yani Pisagorcuların uzunluk oranları, aslında frekans oranlarıdır:

Bugün müzisyenlerin akort için kullandığı uluslararası standart nota, 440 Hz frekanslı La notasıdır. Bir oktav yukarıdaki La 880 Hz, bir oktav aşağıdaki La ise 220 Hz’dir.

Peki bu oranlar neden kulağa hoş gelir? Frekansları 2:1 olan iki ses, her iki titreşimde bir tam olarak hizalanır; dalgaları düzenli bir desen oluşturur. Oranlar karmaşıklaştıkça hizalanma seyrekleşir ve ses daha “gergin” duyulur. Ancak neyin hoş geldiği kısmen kültüre ve alışkanlığa da bağlıdır; bu konu bugün hâlâ araştırılmaktadır.

Bir matematik bulmacası: Pisagor koması

Pisagorcu yöntemle bir gam kurmak için beşlileri art arda dizebilirsiniz. 12 tane beşli çıkarsanız, neredeyse başladığınız notaya, yalnızca 7 oktav yukarıda dönersiniz. “Neredeyse” kelimesi önemlidir:

İki değer birbirine çok yakın ama eşit değil. Aradaki küçük farka Pisagor koması denir:

Bu küçük fark, yüzyıllar boyunca çalgı yapımcılarının ve müzisyenlerin baş ağrısı oldu. Bütün aralıkları “saf” oranlarla akort ederseniz, bazı tonlarda harika ses veren bir çalgı, başka tonlarda kulak tırmalayabilir.

Piyanonun çözümü: Eşit aralıklı akort

Bugün piyanolar ve pek çok Batı çalgısı eşit aralıklı akort kullanır. Bu sistemde oktav, birbirine eşit 12 yarım sese bölünür. Her yarım ses, bir öncekinin frekansının yaklaşık 1,0595 katıdır:

Bu oranı 12 kez çarparsanız tam olarak 2 elde edersiniz, yani oktav kusursuz olur. Bedeli ise şudur: Beşli artık tam 1,5 değil, yaklaşık 1,4983’tür. Kulağımız bu küçük farkı çoğu zaman fark etmez; karşılığında her tonda eşit rahatlıkla çalabilen bir çalgı elde ederiz.

Her müzik geleneği aynı çözümü seçmemiştir. Örneğin Türk makam müziği kuramında yaygın olarak kullanılan bir sistemde, tam ses dokuz küçük parçaya, yani komaya bölünür. Bu sayede Batı müziğinin 12 notalı düzeninde bulunmayan ara sesler yazılabilir. Bu da müzikle matematiğin ilişkisinin tek bir doğru cevabı olmadığını, kültürlerin farklı uzlaşmalar seçtiğini gösterir.

Evde deneyin: Gitarın perdeleri

Evde bir gitar ya da bağlama varsa, Pisagorcuların deneyini kendiniz tekrarlayabilirsiniz. Gitarın sapındaki 12. perde, telin tam ortasına denk gelir. Teli önce boş, sonra 12. perdeye basarak çalın: Bir oktav duyarsınız. 7. perde ise telin yaklaşık üçte ikisini titreşimde bırakır; boş tel ile 7. perdeyi art arda çaldığınızda bir beşli aralık duyarsınız. Bir cetvel alıp eşikten perdelere kadar olan uzunlukları ölçün ve oranları hesaplayın. Perdelerin neden sapın sonuna doğru giderek sıklaştığını da fark edeceksiniz: Her perde, kalan uzunluğu aynı oranda kısaltır.

Gitarınız yoksa, aynı boyda birkaç cam şişeye farklı miktarlarda su koyup ağızlarından üfleyerek de sesin, titreşen hava sütununun uzunluğuyla nasıl değiştiğini duyabilirsiniz.

Efsane mi, gerçek mi?

• “Pisagor çekiç seslerinden oranları buldu.” Efsane. Fiziksel olarak tutarlı değildir ve Pisagor’dan yüzyıllar sonra yazılmıştır.
• “Uyumlu aralıklar basit sayı oranlarına karşılık gelir.” Gerçek. Oktav 2:1, beşli 3:2, dörtlü 4:3’tür.
• “Gezegenler müzik yapar.” Pisagorcuların “kürelerin müziği” fikri mecazi bir düşünceydi. 1619’da Johannes Kepler bile Harmonices Mundi adlı eserinde gezegen hareketlerini müzik aralıklarıyla ilişkilendirmeye çalıştı. Gezegenler gerçek anlamda duyabileceğimiz bir müzik üretmez; ama bu arayış Kepler’i önemli bir gezegen yasasına götürdü.

Özet

• Bir teli yarıya indirmek, frekansı iki katına çıkarır ve bir oktav yukarı ses verir.
• Uyumlu aralıklar basit oranlara karşılık gelir: oktav 2:1, beşli 3:2, dörtlü 4:3.
• Demirci çekiçleri hikâyesi bir efsanedir; asıl deneyler tellerle yapılmıştır.
• 12 beşli ile 7 oktav tam olarak eşit olmaz; aradaki fark Pisagor komasıdır.
• Piyanonun eşit aralıklı akordu, her yarım sesi $\sqrt[12]{2}$ oranında yerleştirerek bu sorunu bir uzlaşmayla çözer.