Eratosthenes Dünya'nın çevresini nasıl ölçtü? Bir çubuk, bir gölge ve biraz geometri

Uzaya roket göndermeden, uydu kullanmadan, hatta dürbün bile olmadan Dünya’nın büyüklüğünü ölçebilir misiniz? Kulağa imkânsız geliyor. Ama yaklaşık 2200 yıl önce Mısır’ın İskenderiye kentinde yaşayan bir bilgin bunu yaptı. Elinde yalnızca gölgeler, iki şehir arasındaki mesafe ve güçlü bir geometri sezgisi vardı. Adı Eratosthenes’ti ve onun yöntemi bugün hâlâ dünyanın dört bir yanındaki okullarda yeniden deneniyor.

İskenderiye Kütüphanesi’nin başındaki adam

Eratosthenes, MÖ 276 civarında bugünkü Libya’da yer alan Kirene (Kyrene) kentinde doğdu ve MÖ 194 civarında öldü. Atina’da eğitim gördükten sonra, Antik Çağ’ın en büyük bilgi merkezi olan İskenderiye Kütüphanesi’nin yöneticisi oldu. Matematik, coğrafya, astronomi, şiir ve tarih gibi pek çok alanda eser verdi. Asal sayıları bulmak için kullanılan ve bugün “Eratosthenes kalburu” diye bilinen yöntem de onun adıyla anılır. Hatta “coğrafya” kelimesini ilk kullananın o olduğu da sıklıkla aktarılır.

Eratosthenes’in Dünya’yı ölçtüğü eser günümüze ulaşmamıştır. Yöntemini bize asıl anlatan kaynak, ondan yüzyıllar sonra yaşamış astronom Kleomedes’in yazdığı bir kitaptır. Bu yüzden kullandığı bazı sayılar hakkında tarihçiler hâlâ tartışır; bunu aşağıda ayrıca ele alacağız.

Dünya’nın yuvarlak olduğu zaten biliniyordu

Önce yaygın bir yanlışı düzeltelim: Eratosthenes, Dünya’nın yuvarlak olduğunu kanıtlamaya çalışmıyordu. Antik Yunan’da eğitimli kişiler bunu zaten biliyordu. Filozof Aristoteles, ondan yaklaşık bir yüzyıl önce, Ay tutulmaları sırasında Dünya’nın Ay’a düşen gölgesinin her zaman yuvarlak olduğuna dikkat çekmişti. Ayrıca güneye doğru yolculuk edenler, kuzeyde görünmeyen bazı yıldızların ufukta belirdiğini fark ediyordu.

Eratosthenes’in sorusu farklıydı: Dünya yuvarlaksa, ne kadar büyük?

Kuyunun dibindeki Güneş

Hikâyeye göre Eratosthenes, İskenderiye’nin güneyindeki Siene kentinde (bugünkü Asvan) ilginç bir olay olduğunu duymuştu: Yılın en uzun günü olan yaz gündönümünde, öğle vakti Güneş ışınları derin bir kuyunun dibine kadar ulaşıyor, dik duran cisimler neredeyse hiç gölge oluşturmuyordu. Bu, o anda Güneş’in Siene’de tam tepede olduğu anlamına geliyordu.

Oysa aynı gün ve aynı saatte İskenderiye’de dik duran bir çubuk, kısa ama belirgin bir gölge oluşturuyordu. Eratosthenes, bu farkın Dünya’nın eğri yüzeyinden kaynaklandığını fark etti. Dünya düz olsaydı, iki şehirdeki çubukların gölgeleri aynı olurdu.

Geometri devreye giriyor

Eratosthenes’in akıl yürütmesi iki varsayıma dayanıyordu:

1. Güneş çok uzakta olduğu için ışınları Dünya’ya birbirine paralel gelir.
2. Siene, İskenderiye’nin tam güneyindedir.

İskenderiye’deki çubuğun gölgesini ölçtüğünde, Güneş ışınlarının çubukla yaptığı açının bir tam çemberin yaklaşık ellide biri olduğunu buldu. Bu, yaklaşık 7,2 dereceye karşılık gelir:

Şimdi işin güzel kısmı geliyor. Paralel iki doğruyu bir üçüncü doğru kestiğinde oluşan iç ters açılar eşittir. Güneş ışınları paralel olduğu için, İskenderiye’deki gölge açısı, Dünya’nın merkezinde İskenderiye ile Siene arasında oluşan açıya eşittir. Yani iki şehir, Dünya’nın merkezinden bakıldığında 7,2 derecelik bir açıyla birbirinden ayrılır.

7,2 derece, tam çemberin $\frac{1}{50}$’si olduğuna göre, iki şehir arasındaki mesafe de Dünya’nın çevresinin $\frac{1}{50}$’si olmalıdır. Eratosthenes bu mesafeyi yaklaşık 5000 stadion olarak aldı. Gerisi basit bir çarpmadır:

Bazı kaynaklar, Eratosthenes’in bu sonucu daha sonra 252 000 stadion olarak yuvarladığını aktarır.

Ne kadar doğruydu? Efsane ve gerçek

Bu noktada sık rastlanan bir iddia vardır: “Eratosthenes Dünya’nın çevresini yüzde 1 hatayla buldu.” Gerçek biraz daha karmaşıktır.

Sorun, stadion adlı uzunluk biriminin tam olarak kaç metre olduğunun bilinmemesidir. Antik dünyada farklı stadion türleri kullanılıyordu ve Eratosthenes’in hangisini kullandığı kesin değildir. Bir stadionu yaklaşık 157,5 metre kabul edersek sonuç yaklaşık 39 400 kilometre çıkar; bu, Dünya’nın gerçek çevresine (ekvatorda yaklaşık 40 075 km) çok yakındır. Ama yaklaşık 185 metrelik “Attika stadionu” kullanılırsa sonuç 46 000 kilometreye çıkar ve hata yüzde 15 civarına yükselir.

Ayrıca Eratosthenes’in varsayımları da tam olarak doğru değildi:

• Siene, İskenderiye’nin tam güneyinde değildir; arada birkaç derecelik boylam farkı vardır.
• Siene, Güneş’in tam tepeye geldiği Yengeç Dönencesi’nin biraz kuzeyinde kalır.
• İki şehir arasındaki 5000 stadionluk mesafe büyük olasılıkla tahmini bir değerdi.

Ne var ki bu küçük hatalar kısmen birbirini dengeledi. Asıl önemli olan şudur: Hangi stadion değerini alırsak alalım, Eratosthenes doğru büyüklük mertebesini buldu. Dünya’nın birkaç bin değil, on binlerce kilometre çevresi olduğunu gösterdi. Hem de sadece akıl yürütme ve basit ölçümlerle.

Bir başka efsane de, Kolomb döneminde insanların Dünya’yı düz sandığıdır. Aslında eğitimli Avrupalılar Dünya’nın yuvarlak olduğunu biliyordu. Tartışma, Dünya’nın büyüklüğü üzerineydi ve Kolomb, Dünya’yı gerçekte olduğundan çok daha küçük hesaplayan tahminlere güveniyordu.

Yöntemi bu kadar zekice yapan ne?

Eratosthenes’in yaptığı şeyin güzelliği, ölçülmesi imkânsız görünen bir büyüklüğü, ölçülebilen iki küçük büyüklüğe bağlamasıdır. Dünya’nın çevresini doğrudan yürüyerek ölçmek o çağda düşünülemezdi. Ama bir gölgenin açısını ölçmek ve iki şehir arasındaki uzaklığı tahmin etmek mümkündü. Gerisini oran-orantı hallediyordu:

Bu eşitlikte dört büyüklükten üçünü bildiğinizde dördüncüsünü bulabilirsiniz. Ortaokulda pasta grafiği çizerken ya da bir çemberin yay uzunluğunu hesaplarken kullandığınız mantık tam olarak budur. Eratosthenes’in deneyi, bu basit oranın ne kadar güçlü bir araç olduğunu gösteren en güzel örneklerden biridir.

Bu deneyi siz de yapabilirsiniz

Eratosthenes’in yöntemi o kadar sade ki, bugün farklı şehirlerdeki okullar bunu birlikte tekrar ediyor. Yapmanız gerekenler şunlar:

1. Düz bir zemine tam dik duran bir çubuk yerleştirin.
2. Güneş’in gökyüzünde en yüksek noktaya ulaştığı yerel öğle vaktinde gölgenin uzunluğunu ölçün.
3. Gölge açısını hesaplayın: $\tan\alpha = \dfrac{\text{gölge uzunluğu}}{\text{çubuk uzunluğu}}$.
4. Aynı gün, sizin tam kuzeyinizde ya da güneyinizde bulunan bir okulla sonuçları karşılaştırın.
5. İki açı arasındaki farkı ve iki şehir arasındaki kuzey-güney mesafesini kullanarak çevreyi hesaplayın.

Ortaokulda $\tan$ fonksiyonunu henüz bilmiyorsanız, çubuğu ve gölgesini kâğıda ölçekli çizip açıyı iletkiyle ölçebilirsiniz.

Bugüne bağlantı

Bugün Dünya’nın boyutlarını uydularla santimetre hassasiyetinde ölçüyoruz. Ama Eratosthenes’in yaptığı şeyin özü değişmedi: Ölçebildiğin bir şeyden, ölçemediğin bir şeyi hesaplamak. Gökbilimciler başka gezegenlerin büyüklüğünü, yıldızlara olan uzaklıkları ve evrenin genişleme hızını da benzer bir mantıkla, yani açılar, oranlar ve geometriyle hesaplar.

Özet

• Eratosthenes, MÖ 3. yüzyılda İskenderiye Kütüphanesi’nin yöneticisiydi.
• Dünya’nın yuvarlak olduğu zaten biliniyordu; o, Dünya’nın büyüklüğünü ölçmek istedi.
• İki şehirdeki gölge farkından 7,2 derecelik bir açı buldu ve bunun tam çemberin $\frac{1}{50}$’si olduğunu fark etti.
• 5000 stadionluk mesafeyi 50 ile çarparak çevreyi 250 000 stadion olarak hesapladı.
• Sonucun kaç kilometreye denk geldiği, stadionun uzunluğu bilinmediği için tartışmalıdır; ama doğru büyüklük mertebesini bulduğu kesindir.