Matematik · Üslü sayılar ve üstel büyüme

Üslü sayılar ve üstel büyüme

Her gün ikiye katlanan nilüferler havuzu hangi gün yarı kaplar? Üslü sayıları, üs kurallarını, ikiye katlanmayı, doğrusal, üstel ve lojistik büyümenin farkını ve ikiye katlanma süresi için 70 kuralını öğren.

25 dk
1 simülasyon
Mini test

Güncelleme: 24 Ekim 2026

Önizleme

Merak sorusu

Bir havuzda tek bir nilüfer yaprağı var. Yaprakların sayısı her gün ikiye katlanıyor ve 30. günün sonunda havuzun yüzeyi tamamen kaplanıyor. Havuz hangi gün yarı yarıya kaplıydı? Aklına ilk gelen cevap 15. gün mü?

Bir eski bilmece daha: Satranç tahtasının ilk karesine 1 pirinç tanesi, ikincisine 2, üçüncüsüne 4 konuyor; her kareye bir öncekinin iki katı. Tahtada 64 kare var. Son kareye kaç tane düşer?

Kendin dene

Hesap açmana gerek yok: değerleri değiştir, cevabını kontrol et. Bazı simülasyonlar başlamadan önce senden bir tahmin ister; doğru ya da yanlış olması önemli değil.

Sayı doğrusu

Kâğıdı katla

Noktayı sürükle ya da düğmelerle 1'er katlama ilerle. Doğru değere geldiğinde Kontrol et düğmesine bas.

Önce tahmin et

Kalınlığın 100 katına çıkması için yaklaşık kaç katlama gerekir?

Doğru ya da yanlış olması önemli değil; seçince simülasyon açılır.

Lab

Üstel büyüme: nilüfer havuzu

Lab’da tam sayfa aç →

Şekil 1Nilüfer havuzu

Günü ilerlet ya da oynat: üç havuz aynı başlar, farklı kurallarla büyür

7. gün · Üstel: %12,5

Gün t7. gün

Günlük çarpan RR = 2

Kendi değerlerin

R (çarpan)

Günlük artış

Başlangıç N₀

Süre (gün)

Gün t

R 1,001–10 arası (günlük artış yüzdesiyle de yazabilirsin), süre en çok 120 gün, başlangıç en çok 100 yaprak. Ondalık için virgül kullanabilirsin; değer Enter’a basınca ya da kutudan çıkınca uygulanır.

Bugün: 7. gün

T₂ = 1 gün

Doğrusalher gün aynı miktar	8	%0,781
Üstelher gün aynı oran	128	%12,5
Lojistikhavuz doldukça yavaşlar	114	%11,1

Günlük artış: %100
Üstel havuzun dolduğu gün: 10
Yarı dolduğu gün: 9
Lojistik havuzun yarı dolduğu gün: 10

Bir havuz 1.024 yaprak alır (2¹⁰ = 32 × 32).

Yaprak sayısı – gün

Öğren

İlerleme yalnız bu sayfada tutulur; puan verilmez.

1Tahmin et
2Dene
3Açıkla

Yapraklar her gün ikiye katlanıyor ve havuz 10. günde tamamen doluyor. Havuz hangi gün yarı doluydu?

Üstel büyümede her gün aynı miktar değil aynı oran eklenir: N = N₀ × Rᵗ. Bu yüzden uzun süre “hiçbir şey olmuyor” gibi görünür, sonra birkaç ikiye katlanmada her şey değişir; havuz dolmadan bir ikiye katlanma süresi önce (R = 2’de bir gün önce) daha yarı boştur. Hiçbir şey sonsuza kadar üstel büyüyemez: yer, besin ya da kaynak bitince büyüme yavaşlar. Lojistik eğri bunun en basit modelidir. Soyut bir modeldir: gerçek bir göl, hastalık ya da nüfus için tahmin değildir. Bkz. A. A. Bartlett, “Forgotten Fundamentals of the Energy Crisis”, Am. J. Phys. 46, 876 (1978; konferansının adı “Arithmetic, Population and Energy”); Verhulst’un lojistik denklemi (1838).

Paylaş: Google Classroom’da paylaş

Devamı için giriş yap

Dersin devamı, mini test seni bekliyor. Hesap açmak ücretsiz.

Ücretsiz başla Giriş yap

Sık sorulanlar

5 soru

2 üzeri 10 neden 20 değil?

Üs tabanla çarpılmaz: aⁿ, n tane a'nın çarpımıdır. 2 × 10 = 20 olur, ama 2¹⁰ on tane 2'nin çarpımıdır: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024.

Bir sayının sıfırıncı kuvveti neden 1'dir?

2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2: üs bir azaldıkça sonuç yarıya iner. Bu düzen sürerse 2⁰ = 1 olur. Bölme kuralı da aynısını söyler: 2³ ÷ 2³ = 1 ve üsler çıkarılınca 2³⁻³ = 2⁰. Bu yüzden sıfırdan farklı her a için a⁰ = 1'dir.

Üsleri ne zaman toplar, ne zaman çarparım?

Tabanları aynı iki kuvveti çarparken üsleri toplarsın: 2³ · 2⁴ = 2⁷. Bir kuvvetin kuvvetini alırken üsleri çarparsın: (2³)² = 2⁶. Tabanlar farklıysa (2³ · 3²) bu kurallar uygulanmaz; önce her kuvveti ayrı hesaplarsın: 8 · 9 = 72.

Doğrusal büyüme ile üstel büyüme arasındaki fark nedir?

Doğrusal büyümede her adımda aynı miktar eklenir: 1, 2, 3, 4… Üstel büyümede her adımda aynı sayıyla çarpılır: 1, 2, 4, 8… Başta ikisi birbirine yakındır, ama üstel büyüme kısa sürede çok öne geçer: 20 adım sonra doğrusal 21'e, ikiye katlanan ise 1.048.576'ya ulaşır.

70 kuralı her zaman doğru sonuç verir mi?

Hayır, yaklaşık bir kuraldır. Her dönem %p büyüyen bir miktarın ikiye katlanma süresini yaklaşık 70 ÷ p olarak verir. Küçük yüzdelerde iyi çalışır: %7 için kural 10 dönem der, gerçek değer yaklaşık 10,2'dir. Yüzde büyüdükçe sapma artar: %100 büyümede miktar 1 dönemde ikiye katlanır, kural ise 0,7 der.